Cho hàm số y=f(x), hàm số y= f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: Tìm f(x)>x^2-2x+m để bất phương trình

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, hàm số $y=f^{\text{'}}\left(x\right)$ liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Tìm m để bất phương trình $f\left(x\right)>x^2-2x+m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x\in \left(1;2\right)$.

Trả lời

Ta có: $f\left(x\right)>x^2-2x+m\left(\forall x\in \left(1;2\right)\right)$$\iff f\left(x\right)-x^2+2x>m\left(\forall x\in \left(1;2\right)\right)\left(*\right)$.

Gọi $g\left(x\right)=f\left(x\right)-\left(x^2-2x\right)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)-\left(2x-2\right)$

Theo đồ thị ta thấy $f^{\text{'}}\left(x\right)<\left(2x-2\right)\left(\forall x\in \left[1;2\right]\right)\text{⇒}{g}^{\text{'}}\left(x\right)<0\left(\forall x\in \left[1;2\right]\right)$.

Vậy hàm số $y=g\left(x\right)$ liên tục và nghịch biến trên $\left[1;2\right]$

Do đó (*)$\iff$ $m\le \underset{\left[1;2\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(2\right)=f\left(2\right)$.