Cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0, đường tròn (C): x^2 + y^2 – 4x + 8y – 5 = 0. a) Tìm ảnh của d qua

Bài 12 trang 41 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0, đường tròn (C): x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0.

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Trả lời

a) Chọn điểm M(–1; –1) ∈ d: x + y + 2 = 0.

Ta đặt M’ = Đ_Ox(M).

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M’(–1; 1).

Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó y_N = 0, suy ra x_N = –2. Do đó N(–2; 0).

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’(–1; 1) và N(–2; 0).

Ta có: $\overrightarrow{M^{\text{'}}N}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d^{\text{'}}}=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d^{\text{'}}}=\left(1;-1\right)$nên có phương trình là:

1.(x + 2) – 1.(y – 0) = 0 hay x – y + 2 = 0.

b) Đường tròn (C): x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0 có tâm I(2; –4), bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2-\left(-5\right)}=5$.

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua Đ_Oy.

Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua Đ_Oy và có bán kính R’ = R = 5.

Ta đặt I’ = Đ_Oy(I).

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy

Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua Đ_Oy là: (x + 2)² + (y + 4)² = 25.

Xem thêm các bài giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 6: Phép vị tự

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1: Đồ thị

Bài 2: Đường đi Euler và đường đi Hamilton

Bài 3: Bài toán tìm đường đi ngắn nhất