Cho đồ thị hàm số $\left(C\right):y=x^4-2\left(m^2+1\right)x^2+m^4$ . Gọi A,B  , C là ba điểm cực trị của $\left(C\right)$  và $S_1$ , $S_2$  lần lượt là phần diện tích phía trên và phía dưới trục hoành của tam giác ABC. Có bao nhiêu giá trị của tham số  sao cho $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}$ ?

Ta có: $y^{\text{'}}=4x^3-4\left(m^2+1\right)x$  .

Cho $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=m^4\\ x^2=m^2+1\Rightarrow y=-2m^2-1\end{array}\right.$ .

Hàm số luôn có ba điểm cực trị với mọi tham số m.

Gọi $A\left(0;m^4\right)$ , $B\left(\sqrt{m^2+1};-2m^2-1\right)$ , $C\left(-\sqrt{m^2+1};-2m^2-1\right)$  là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có $OA=m^4$ ,$h=d\left(A;\left(BC\right)\right)=m^4+2m^2+1$

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}\iff \frac{S_{ABC}-S_1}{S_1}=3\iff \frac{S_{ABC}}{S_1}=4\iff {\left(\frac{h}{OA}\right)}^2=4\iff \frac{m^4+2m^2+1}{m^4}=2$.

$\iff m^4-2m^2-1=0\iff m=\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$

Vậy có hai giá trị của tham số thỏa mãn đề bài.

Chọn B.