Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thỏa mãn a^2 – 2b = b^2 – 2c = c^2 – 2a

Đề bài: Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và thỏa mãn a² – 2b = b² – 2c = c² – 2a. Tính giá trị của biểu thức A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

Trả lời

Huớng dẫn giải:

Ta có a² – 2b = c² – 2a.

⇔ a² – c² = 2b – 2a.

⇔ (a – c)(a + c) = 2(b – a)

$$\begin{gathered} \iff a+c=\frac{2\left(b-a\right)}{a-c} \\ \iff a+c+2=\frac{2\left(b-a\right)}{a-c}+2 \\ \iff a+c+2=\frac{2\left(b-c\right)}{a-c} \end{gathered}$$

Chứng minh tương tự, ta được $b+c+2=\frac{2\left(b-a\right)}{b-c}$  và $a+b+2=\frac{2\left(a-c\right)}{a-b}$ .

Ta có A = (a + b + 2)(b + c + 2)(c + a + 2).

$$\begin{gathered} =\frac{2\left(a-c\right)}{a-b}.\frac{2\left(b-a\right)}{b-c}.\frac{2\left(b-c\right)}{a-c} \\ =-\frac{2\left(a-c\right)}{b-a}.\frac{2\left(b-a\right)}{b-c}.\frac{2\left(b-c\right)}{a-c} \end{gathered}$$

= –2.2.2 = –8.

Vậy A = –8.