Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F, trên AB lấy điểm E sao cho BE = CF

Đề bài. Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F, trên AB lấy điểm E sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD.

a) Chứng minh DC vuông góc với BC.

b) Gọi I là giao điểm EF và BC. Chứng minh $AI=\frac{1}{2}DB.$

Trả lời

a) Ta có

BE = DF (cạnh đối hình bình hành)

BE = CF (gt)

⇒ CF=DF ⇒ tam giác CDF cân tại F

Ta có DF//BE ⇒ DF//AB mà AB ⊥ AC ⇒ DF ⊥ AC

⇒ tam giác CDF vuông cân tại F ⇒ $\widehat{FCD}=\widehat{FDC}={45}^{\circ }$

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒ $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}={45}^{\circ }$

⇒ $\widehat{BCD}=\widehat{ACF}-(\widehat{ACB}+\widehat{FCD})={90}^{\circ }$

⇒ DC ⊥ BC (đpcm)

b/ Từ E dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại K

Xét tam giác vuông BEK có: $\widehat{BKE}={180}^{\circ }-(\widehat{BEK}+\widehat{ABC})={45}^{\circ }$

⇒$\widehat{BKE}=\widehat{ABC}={45}^{\circ }$

⇒ tam giác BEK cân tại E ⇒ BE=KE

Mà BE = CF (gt)

⇒ KE = CF (1)

Ta có: KE ⊥ AB

AC⊥AB

⇒ CF ⊥ AB

⇒ KE // CF (2)

Từ (1) và (2) ⇒ CEKF là hình bình hành

⇒ IE = IF (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tam giác vuông AEF có: IE = IF (cmt)

⇒$AI=\frac{1}{2}EF$

Mà EF = DB nên $AI=\frac{1}{2}DB.$