Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho AD/BD = CE/EA

Đề bài. Cho ΔABC cố định, các điểm D và E di động trên các cạnh tương ứng là AB và AC sao cho $\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{EA}$. Chứng minh rằng: Trung điểm M của đoạn thẳng DE nằm trên 1 đoạn thẳng cố định.

Trả lời

Ta có: $\frac{AD}{BD}=\frac{CE}{EA}\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{EC}{CA}$

Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F (EF // BC)

Theo định lý ta-lét ta có: $\frac{EF}{AB}=\frac{CE}{CA}$

Suy ra: $\frac{EF}{AB}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow EF=AD$

Lại có: EF // AB nên EF // AD

Suy ra: ADFE là hình bình hành

Mà ADFE là hình bình hành có M là trung điểm của đường chéo DE nên M cũng là trung điểm của AF

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, AC

Suy ra: IJ là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ IJ // BC (1)

Tam giác ABF có I là trung điểm AB, M là trung điểm AF nên IM là đường trung bình của tam giác ABF

⇒ IM // BC (2)

Từ (1) và (2): I, M, J thẳng hàng

Vậy M nằm trên IJ

Mà tam giác ABC cố định, nên IJ cố định, vậy M cố định.