Cho ΔABC có BC = 6, AB = 5, và vecto BC . vecto. Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH

Đề bài. Cho ΔABC có BC = 6, AB = 5, và $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}= 24$. Tính độ dài trung tuyến BM và cosin của góc nhọn tạo bởi BM và đường cao AH.

Trả lời

Áp dụng định lý cosin ta có:

$AC=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2-2.BA.BC.\cos B}=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2-2.\left(\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}=24\right)}=\sqrt{5^2+6^2-2.24}=\sqrt{13}$

Xét tam giác ABC có BM là trung tuyến

Suy ra: $BM=\sqrt{\frac{2\left(A{B}^2+B{C}^2\right)-A{C}^2}{4}}=\sqrt{\frac{109}{4}}=\frac{\sqrt{109}}{2}$

Do $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}=24>0$ nên $\widehat{B}<90°$ nên ta có hình vẽ như trên

Gọi I là giao điểm của AH và BM

$\cos \widehat{MBC}=\frac{B{M}^2+B{C}^2-M{C}^2}{2.BM.BC}=0,958$

Suy ra: $\cos \widehat{IBH}=0,958$

Xét tam giác IBH có: $\cos \widehat{IBH}=0,958;\widehat{IHB}=90°$

Suy ra: $\sin \widehat{BIH}=\cos \widehat{IBH}=0,958\Rightarrow \cos \widehat{BIH}=\sqrt{1-0,{958}^2}=0,287$

Suy ra: $\cos \left(BM,AH\right)=0,287$ .