Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, góc A = 60 độ. Tính độ dài phân giác góc A

Đề bài. Cho ∆ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{A}={60}^{°}$. Tính độ dài phân giác $\hat{A}$.

Trả lời

Áp dụng định lí hàm số côsin cho ∆ABC ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cos60

Suy ra: BC = $\sqrt{7}$

Gọi AH là đường phân giác góc A.

Áp dụng tính chất đường phân giác cho ∆ABC:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{HC}\Rightarrow \frac{AB}{BH}=\frac{AC}{HC}=\frac{AB+AC}{BH+HC}=\frac{2+3}{BC}=\frac{5}{\sqrt{7}}$

$BH=\frac{AB}{\frac{5}{\sqrt{7}}}=\frac{2\sqrt{7}}{5}$

$\cos \widehat{B}=\frac{A{C}^2-A{B}^2-B{C}^2}{-2.AB.BC}=\frac{\sqrt{7}}{14}$

Xét tam giác ABH có: AH² = AB² + BH² – 2.AB.BH.$\cos \widehat{B}=\frac{108}{25}$

Suy ra: $AH=\frac{6\sqrt{3}}{5}$ .