Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\text{'}}=4x^3-4\left(m-1\right)x$ . Cho  $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m-1\end{array}\right.$ .

Hàm số có ba điểm cực trị nên $m>1$ .

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là $A\left(0;3m\right)$ , $B\left(\sqrt{m-1};5m-m^2-1\right)$  và $C\left(-\sqrt{m-1};5m-m^2-1\right)$ . Suy ra $OA=3m$ , $BC=2\sqrt{m-1}$ .

Ta có $P=OA+\frac{12}{BC}=3m+\frac{6}{\sqrt{m-1}}=\left[3\left(m-1\right)+\frac{3}{\sqrt{m-1}}+\frac{3}{\sqrt{m-1}}\right]+3$

$\ge 3+3\sqrt[3]{3\left(m-1\right){\left(\frac{3}{\sqrt{m-1}}\right)}^2}=12$.

Dấu $"="$  xảy ra khi $3\left(m-1\right)=\frac{3}{\sqrt{m-1}}\iff m=2$ .

Chọn C.