Biết hai hàm số $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+2x-1$  và $g\left(x\right)=-x^3+b{x}^2-3x+1$  có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left|a\right|+\left|b\right|$  là

Giả sử điểm cực trị chung của $f\left(x\right)$  và $g\left(x\right)$  là $x_0\ne 0$ , suy ra .

$\left\{\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x_0\right)=0\\ g^{\text{'}}\left(x_0\right)=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3{x_0}^2+2a{x}_0+2=0\\ -3{x_0}^2+2b{x}_0-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\left(-3x_0-\frac{2}{x_0}\right)\\ b=\frac{1}{2}\left(3x_0+\frac{3}{x_0}\right)\end{array}\right.$

Khi đó $P=\left|a\right|+\left|b\right|=\frac{1}{2}\left(\left|3x_0+\frac{2}{x_0}\right|+3\left|x_0+\frac{1}{x_0}\right|\right)$

$=\frac{1}{2}\left(6\left|x_0\right|+\frac{5}{\left|x_0\right|}\right)\stackrel{AM-GM}{\ge }\frac{1}{2}.2\sqrt{6\left|x_0\right|.\frac{5}{\left|x_0\right|}}=\sqrt{30}$.

Dấu $"="$  xảy ra khi $6\left|x_0\right|=\frac{5}{\left|x_0\right|}\iff \left|x_0\right|=\frac{\sqrt{30}}{6}$ .

Khi đó $\left|a\right|=\frac{9\sqrt{30}}{20}$  và $\left|b\right|=\frac{11\sqrt{30}}{20}$ .

Chọn A.