Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 2: Giới hạn hàm số có đáp án
Dạng 6: Tìm giới hạn hàm lượng giác có đáp án
-
1850 lượt thi
-
26 câu hỏi
-
0 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Hướng dẫn giải
Ta có A=limx→0(tan2xx−sin3xx)=2−3=−1 .
Câu 3:
Ta có A=limx→02sin2ax2x2=a22limx→0(sinax2ax2)2=a22
Câu 4:
Hướng dẫn giải
Ta có 1−cosx.cos2x.cos3xx2
=1−cosx+cosxcos2x(1−cos3x)+cosx(1−cos2x)x2
=1−cosxx2+cosx.cos2x1−cos3xx2+cos1−cos2xx2
B=limx→0(1−cosxx2+cosx.cos2x1−cos3xx2+cosx1−cos2xx2)=7
Câu 5:
Hướng dẫn giải
Ta có 1+sinx−cosx1+sin2x−cos2x=2sin2x2+2sinx2cosx22sin2x+2sinxcosx
⇒A=limx→012.sinx2x2.xsinx.sinx2+cosx2sinx+cosx=12
Câu 6:
Tìm giới hạn A=limx→01+sinmx−cosmx1+sinnx−cosnx , với m.n≠0 .
Hướng dẫn giải
Ta có 1+sinmx−cosmx1+sinnx−cosnx=2sin2mx2+2sinmx2cosmx22sin2nx2+2sinnx2cosnx2
=mn.sinmx2mx2.nx2sinnx2.sinmx2+cosmx2sinnx2+cosnx2.
Suy ra A=mnlimx→0sinmx2mx2.limx→0nx2sinnx2.limx→0sinmx2+cosmx2sinnx2+cosnx2=mn.
Câu 7:
Tìm giới hạn .A=limx→01−cos2x2sin3x2
Hướng dẫn giải
Ta có A=limx→0sin2xsin3x2=limx→0x(sinxx)2.32limx→0sin3x23x2=0
Câu 8:
Tìm giới hạn B=limx→0cos2x−cos3x(sin3x−sin4x) .
Hướng dẫn giải
B=limx→02sin5x2sinx2−2xcos7x2sinx2=limx→0(52.sin5x25x2).limx→01cos7x2=52
Câu 9:
Hướng dẫn giải
.
C=limx→0tan22x1−3√cos2x=limx→0tan22x(1+3√cos2x+3√cos22x)1−cos2x
=limx→0tan22x(1+3√cos2x+3√cos22x)2sin2x
=2limx→0(tan2x2x)2.(xsinx)2.(1+3√cos2x+3√cos22x)
⇒C=6
Câu 10:
Tìm giới hạn D=limx→0x2√1+xsin3x−cos2x
Hướng dẫn giải
Ta có
D=limx→01√1+xsin3x−cos2xx2mà limx→0√1+xsin3x−cos2xx2=limx→0√1+xsin3x−1x2+limx→01−cos2xx2
=3limx→0(sin3x3x.1√1+xsin3x+1)+2=72.
Câu 11:
Tìm giới hạn A=limx→1sin(πxm)sin(πxn) .
Hướng dẫn giải
A=limx→1sinπ(1−xm)sinπ(1−xn)=limx→1sinπ(1−xm)π(1−xm).limx→1π(1−xn)sinπ(1−xn).limx→11−xn1−xm
=limx→11−xn1−xm=limx→1(1−x)(xn−1+xn−2+...+1)(1−x)(xm−1+xm−2+...+1)=nm
Câu 12:
Tìm giới hạn .F=limx→+∞3sinx+2cosx√x+1+√x
Hướng dẫn giải
Ta có −√13√x+1+√x≤3sinx+2cosx√x+1+√x≤√13√x+1+√x .
Lại có limx→+∞±√13√x+1+√x=0 .
Vậy F=limx→+∞3sinx+2cos√x+1+√x=0 .Câu 14:
Tìm giới hạn C=limx→0tan2x.sin5xx2được kết quả là
Ta có: C=limx→02tan2x2x.5sin5x5x=10
Câu 15:
Tìm giới hạn D=limx→0sinx−tanxx3 được kết quả là
Ta có D=limx→0sinx(cosx−1)x3cosx=−limx→02sinx.sin2x2x3cosx=−12limx→0sinxx(sinx2x2)2=−12
Câu 16:
Tìm giới hạn A=limx→0cos3x−cos4xcos5x−cos6x được kết quả là
Ta có A=limx→0cos3x−cos4xcos5x−cos6x=limx→0sin7x2.sinx2sin11x2.sinx2=limx→0sin7x2sin11x2=711
Câu 17:
Tìm giới hạn B=limx→01−3√1+2sin2xsin3x được kết quả là
Ta có B=limx→01−3√1+2sin2xsin3x=limx→0−2sin2xsin3x(1+3√1+2sin2x+3√(1+2sin2x)2)=−49
Câu 18:
Tìm giới hạn C=limx→0sin22x3√cosx−4√cosx được kết quả là
Ta có C=limx→0sin22x3√cosx−4√cosx=limx→0sin22xx23√cosx−1x2+1−4√cosxx2
limx→01−3√cosxx2=limx→01−cosxx2(1+3√cos2x+3√cos22x)=limx→02sin2x2x2(1+3√cos2x+3√cos22x)=16
limx→01−4√cosxx2=limx→0(1−cosx)x2(1+4√cosx)(1+√cosx)=18
limx→0sin22xx2=4
Vậy C=4−16+18=−96
Câu 19:
Tìm giới hạn D=limx→0sin42xsin43x được kết quả chính xác là
Ta có D=limx→0sin42xsin43x=limx→0sin42xx4sin43xx2=1681
Câu 20:
Tìm giới hạn E=limx→01−sin(π2cosx)sin(tanx) được kết quả là
Ta có E=limx→01−sin(π2cosx)tanxsin(tanx)tanx mà limx→0sin(tanx)tanx=1
Lại có limx→01−sin(π2cosx)tanx=limx→01−cos[π2(1−cosx)]tanx=limx→02sin2(πsin2x22)tanx
=π4limx→0sin2(πsin2x22)πsin2x22.sin2x2(x2)2.x.xtanx=0
Do đó E= 0
Câu 21:
Kết quả đúng của limx→0x2cos2nx là
Ta có 0≤|cos2nx|≤1⇔0≤|x2cos2nx|≤x2 mà limx→0x2=0 nên limx→0x2cos2nx=0
Câu 22:
Tìm giới hạn L=limx→π2cosxx−π2kết quả là
Ta có L=limx→π2cosxx−π2=limx→π2sin(π2−x)x−π2=−1
Câu 23:
Tìm giới hạn H=limx→0m√cosax−m√cosbxsin2x có kết quả là
H=limx→0m√cosax−m√cosbxsin2x=limx→0m√cosax−1+1−m√cosbxsin2x
=limx→0cosax−1[(m√cosax)m−1+(m√cosax)m−2+...+1]sin2x−limx→0cosbx−1[(m√cosbx)m−1+(m√cosbx)m−2+...+1]sin2x
=limx→02sin2bx2[(m√cosbx)m−1+(m√cosbx)m−2+...+1]sin2x−limx→02sin2ax2[(m√cosax)m−1+(m√cosax)m−2+...+1]sin2x
=limx→0b22.sin2bx2b2x24[(m√cosbx)m−1+(m√cosbx)m−2+...+1]sin2xx2−limx→0a22.sin2ax2a2x24[(m√cosax)m−1+(m√cosax)m−2+...+1]sin2xx2
=b2−a22m
Câu 24:
Tìm giới hạn M=limx→01−n√cosaxx2 có kết quả là
Ta có M=limx→01−n√cosaxx2=limx→01−cosax[(n√cosax)n−1+(n√cosax)n−2+...+1]x2
=limx→0a22sin2ax2[(n√cosax)n−1+(n√cosax)n−2+...+1]a2x24=a22n
Câu 25:
Kết quả giới hạn M=limx→03√1+3x−√1+2x1−cos2x=−ab trong đó ab là phân số tối giản a;b>0 . Tổng a+b bằng
Ta có M=limx→03√3x+1−√2x+1x21−cos2xx2=limx→03√3x+1−(x+1)+(x+1)−√2x+1x22sin2xx2
=limx→03√3x+1−x−1x22sin2xx2+limx→0x+1−√2x+1x22sin2xx2
=limx→0−x3−3x2x2((3√3x+1)2+(x+1)3√3x+1+(x+1)2)2sin2xx2+limx→0x2x2(x+1+√2x+1)2sin2xx2
=−12+14=−14⇒a=1;b=4⇒a+b=5
Câu 26:
Cho hàm số y=f(x)=2√1+x−3√8−xsin3x . Kết quả giới hạn limx→0f(x)=ab , trong đó ab là phân số tối giảna;b>0 . Tổng a+b bằng
Ta có limx→02√1+x−3√8−xsin3x=limx→02√1+x−2+2−3√8−xsin3x=limx→02√1+x−2sin3x+limx→02−3√8−xsin3x
=limx→02x1+√1+x3xsin3x3x+limx→0x4+23√8−x+(3√8−x)23xsin3x3x=limx→021+√1+x3sin3x3x+limx→014+23√8−x+(3√8−x)23sin3x3x
=13+136=1336=ab⇒a+b=49