24 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Tìm số hạng của hàm số dạng vô định có đáp án

Câu 1:

Tìm giới hạn $E = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - x)$ .

Hướng dẫn giải

Đây là giới hạn dạng $\infty - \infty$ , để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x.

Chú ý khi $x \to + \infty$ thì $x = \sqrt{x^{2}}$ .

Ta có

E = \lim_{x \to + \infty} \frac{- x + 1}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + x} = - \frac{1}{2}

.

Câu 2:

Tìm giới hạn $F = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

F = \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1} - 2 x} = - \frac{1}{4}

Câu 3:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + x + 1})$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có . $B = \lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} + x + 1}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x - 1}{x - \sqrt{x^{2} + x + 1}} = - \frac{1}{2}$

Câu 4:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to + \infty} \frac{3}{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} - 2 x}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $C = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + x + 1} + 2 x}{x + 1} = 4$

Câu 5:

Tìm giới hạn $M = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 3 x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

M = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{\sqrt{x^{2} + 3 x + 1} + \sqrt{x^{2} - x + 1}} = - 2

Câu 6:

Tìm giới hạn .

K = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1} - 2 x)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $K = \lim_{x \to + \infty} x (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} + \frac{- 1}{\sqrt{x^{2} - 1} + x}) = 0$ .

Tiếp theo, ta xét bài tập liên hợp của căn bậc ba hay sự kết hợp căn ở cả tử và mẫu.

Câu 7:

Tìm giới hạn $N = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{8 x^{3} + 2 x} - 2 x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có

N = \lim_{x \to + \infty} \frac{2 x}{\sqrt[3]{{(8 x^{3} + 2 x)}^{2}} + 2 x \sqrt[3]{8 x^{3} + 2 x} + 4 x^{2}} = 0

Câu 8:

Tìm giới hạn

B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} + 2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$B = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} + 2 x}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{(4 - 3 x) (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)}{(x + 1) (\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 4} - 2 x)} = - \frac{3}{2}$

Câu 9:

Tìm giới hạn

D = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} + x + 1})

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $D = \lim_{x \to - \infty} ((\sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + 1} - x) + (\sqrt{x^{2} + 1 + 1} + x))$

= \lim_{x \to - \infty} (\frac{x^{2} + 1}{\sqrt[3]{{(x^{3} + x^{2} + 1)}^{2}} + x \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + 1} + x^{2}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}) = - \frac{1}{6}

Câu 10:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{3} + 2 x^{2} + 1} - 2 \sqrt{x^{2} - x} + x)

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \lim_{x \to + \infty} ((\sqrt[3]{x^{3} + 2 x^{2} + 1} - x) - 2 (\sqrt{x^{2} - x} - x))$

$= \lim_{x \to + \infty} (\frac{2 x^{2} + 1}{\sqrt[3]{{(x^{3} + 2 x^{2} + 1)}^{2}} + x \sqrt[3]{x^{3} + 2 x^{2} + 1} + x^{2}} + \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - x} + x}) = \frac{5}{3}$

Câu 11:

Tìm giới hạn

A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} - x)

được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $\frac{- 3}{2}$

C. $\frac{- 1}{2}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} - x) \Leftrightarrow A = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} + x} \Leftrightarrow A = - \frac{3}{2}$

Vậy $A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - 3 x + 1} - x) = \frac{- 3}{2}$

Câu 12:

Tìm giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{2} - x + 1})$ được kết quả là

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{- 1}{4}$

D. $\frac{- 1}{2}$

Xem đáp án

Ta có : $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{2} - x + 1}) \Leftrightarrow B = \lim_{x \to - \infty} \frac{- x + 1}{\sqrt{4 x^{2} - x + 1} - 2 x} \Leftrightarrow B = \frac{1}{4}$

Vậy $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{2} - x + 1}) = \frac{1}{4}$

Câu 13:

Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})} - x)$ được kết quả là

A. $n (a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})$

B. $\frac{a_{1} a_{2} ... a_{n}}{n}$

C. $\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{2 n}$

D. $\frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}$

Xem đáp án

Sử dụng công thức $a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1})$ .

Ta có $C = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})} - x) \Leftrightarrow C = \lim_{x \to + \infty} \frac{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n}) - x^{n}}{{\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) ... (x + a_{n})}}^{n - 1} + ... + x^{n - 1}}$

\Leftrightarrow C = \frac{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}{n}

.

Câu 14:

Tìm giới hạn $D = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x)$ được kết quả là

A. $\frac{- 1}{6}$

B. $\frac{- 2}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $D = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{9 x^{2} + 1} - 3 x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{9 x^{2} + 1} + 3} = \frac{1}{6}$

Câu 15:

Tìm giới hạn $G = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 2 x})$ được kết quả là

A. 0

B. 1

C. $\frac{- 5}{2}$

D. -2

Xem đáp án

Ta có $G = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2}} + \sqrt{x^{2} - 2 x}) \Leftrightarrow G = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{x^{3} - 3 x^{2}} - x) + \lim_{x \to - \infty} (x + \sqrt{x^{2} - 2 x})$

$\Leftrightarrow G = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x^{2}}{\sqrt[3]{{(x^{3} - 3 x^{2})}^{2}} + x \sqrt[3]{x^{3} - 3 x} + x^{2}} + \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{x - \sqrt{x^{2} - 2 x}} \Leftrightarrow G = - 1 + 1 = 0$

Câu 16:

Tìm giới hạn $H = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} - \sqrt{4 x^{2} + 2})$ được kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{4}{3}$

D. 0

Xem đáp án

Ta có: $H = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} - \sqrt{4 x^{2} + 2})$

$\Leftrightarrow H = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} - 2 x) + \lim_{x \to + \infty} (2 x - \sqrt{4 x^{2} + 2})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x + 1}{\sqrt[4]{{(16 x^{4} + 3 x + 1)}^{3}} + 2 x . \sqrt[4]{{(16 x^{4} + 3 x + 1)}^{2}} + 4 x^{2} \sqrt[4]{16 x^{4} + 3 x + 1} + 8 x^{3}} + \lim_{x \to + \infty} \frac{- 2}{2 x + \sqrt{4 x^{2} + 2}} \Leftrightarrow H = 0$

Câu 17:

Kết quả giới hạn $I = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + x + 1} - 4 \sqrt{x^{4} + 2 x - 1}}{{(2 x + 3)}^{2}} = - \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a; b > 0)$ . Tổng a+b bằng

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $I = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + x + 1} - 4 \sqrt{x^{4} + 2 x - 1}}{{(2 x + 3)}^{2}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt[3]{1 + \frac{1}{x^{5}} + \frac{1}{x^{6}}} - 4 \sqrt{1 + \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}}{{(2 + \frac{3}{x})}^{2}} = - \frac{3}{4}$

Suy ra $a + b = 7$

Câu 18:

Kết quả giới hạn $J = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - 2 \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1} + x) = - \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a; b > 0)$ . Tổng a+b bằng

A. 7

B. 5

C. 6

D. 8

Xem đáp án

Ta có: $J = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - 2 \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1} + x) = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x) + \lim_{x \to + \infty} 2 (x - \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} + x} + \lim_{x \to + \infty} 2 \frac{- x^{2} + 1}{x^{2} + x \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1} + \sqrt[3]{{(x^{3} + x^{2} - 1)}^{2}}} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{6}$

suy ra a+b =7

Câu 19:

Kết quả giới hạn $K = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}}) = \frac{a}{b}$ , với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $(a; b > 0)$ .

Tổng a+b bằng

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Ta có: $K = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 2 x} - \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}}) = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt{x^{2} + 2 x} - x - 1) + \lim_{x \to + \infty} x (x + 1 - \sqrt[3]{x^{3} + 3 x^{2}})$

$= \lim_{x \to + \infty} \frac{- x}{\sqrt{x^{2} + 2 x} + (x + 1)} + \lim_{x \to + \infty} \frac{3 x^{2} + x}{{(x + 1)}^{2} + (x + 1) \sqrt[3]{x^{3} + 3 x} + \sqrt[3]{{(x^{3} + 3 x)}^{2}}} = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Suy ra $a + b = 3$

Câu 20:

Cho $L = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + a x + 12} + 2 x) = 5$ Giá trị của a là

A. 10

B. -6

C. 6

D. -20

Xem đáp án

Ta có: $L = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} + a x + 12} + 2 x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{a x + 12}{\sqrt{4 x^{2} + a x + 12} - 2 x} = - \frac{a}{4}$

Suy ra $- \frac{a}{4} = 5 \Leftrightarrow a = - 20$

Câu 21:

Cho a, b là các số dương. Biết $M = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - a x} + \sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5}) = \frac{3}{2}$ . Tìm giá trị lớn nhất của ab.

A. $\frac{8}{9}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - a x} + \sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5}) = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{4 x^{2} - a x} + 2 x) + \lim_{x \to - \infty} (\sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5} - 2 x)$

$= \lim_{x \to - \infty} \frac{- a x}{\sqrt{4 x^{2} - a x} - 2 x} + \lim_{x \to - \infty} \frac{b x^{2} + 5}{\sqrt[3]{{(8 x^{3} + b x^{2} + 5)}^{2}} + 2 x \sqrt[3]{8 x^{3} + b x^{2} + 5} + 4 x^{2}} = \frac{a}{4} + \frac{b}{12}$

Ta có $\frac{2}{3} = \frac{a}{4} + \frac{b}{12} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} . \frac{b}{12}} \Leftrightarrow a b \leq \frac{16}{3}$

Câu 22:

Biết rằng $L = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} + x \sqrt{2}) = \frac{a}{b} \sqrt{2}$ (a là số nguyên, b là số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản). Tổng a+b có giá trị là

A. 1

B. 5

C. 4

D. 7

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} + x \sqrt{2}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{2 x^{2} - 3 x + 1} - x \sqrt{2}} = \frac{3}{4} \sqrt{2}$

Suy ra a+ b =7

Câu 23:

Biết rằng $b > 0, a + 3 b = 9$ và $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{a x + 1} - \sqrt{1 - b x}}{x} = 2$ . Khẳng định nào dưới đây sai?

A. $1 < a < 3$

B. $b > 1$

C. $a^{2} + b^{2} > 12$

D. $b - a < 0$

Xem đáp án

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{a x + 1} - \sqrt{1 - b x}}{x} = \lim_{x \to 0} [\frac{\sqrt[3]{a x + 1} - 1}{x} + \frac{1 - \sqrt{1 - b x}}{x}]$

$= \lim_{x \to 0} [\frac{a x}{x (\sqrt[3]{{(a x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{a x + 1} + 1)} + \frac{b x}{x (1 + \sqrt{1 - b x})}]$

$= \lim_{x \to 0} [\frac{a}{\sqrt[3]{{(a x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{a x + 1} + 1} + \frac{b}{1 + \sqrt{1 - b x}}] = \frac{a}{3} + \frac{b}{2}$

Theo bài ra ta có $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 2 \Leftrightarrow 2 a + 3 b = 12$ . Từ giả thiết $a + 3 b = 9$ suy ra $a = 3; b = 2$ , vậy A sai.

Câu 24:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $c^{2} + a = 18$ và $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{a x^{2} + b x} - c x) = - 2$ . Tính $P = a + b + 5 c$ .

A, P=18

B. P=12

C. P= 9

D. P= 5

Xem đáp án

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{a x^{2} + b x} - c x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{{(a - c)}^{2} x^{2} + b x}{\sqrt{a x^{2} + b x} + c x}$

Để giới hạn $\lim_{x \to + \infty} \frac{(a - c^{2}) x^{2} + b x}{\sqrt{a x^{2} + b x} + c x} = - 2$ thì $\{\begin{cases} a - c^{2} = 0 \\ \frac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \end{cases}$ .

Theo đầu bài ta có hệ $\{\begin{cases} a - c^{2} = 0 \\ a + c^{2} = 18 \\ \frac{b}{\sqrt{a} + c} = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 9 \\ c = 3 \\ b = - 12 \end{cases}$ (nếu c=-3 thì $\sqrt{a} + c = 0$ ).

Suy ra $P = a + b + 5 c = 9 - 12 + 15 = 12$ .

Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 2: Giới hạn hàm số có đáp án

Dạng 4: Tìm số hạng của hàm số dạng vô định có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương