31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

Câu 1:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1}$ .

Hướng dẫn giải

Do $x \to 3^{-} \Rightarrow x < 3$ , như vậy $|x - 3| = - x + 3$ .

Ta có $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 3}{5 x - 15} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- 1}{5} = \frac{- 1}{5}$ .

Câu 2:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x^{4} - 6 x^{2} - x khi x \geq 1 \\ - x^{3} + 3 x khi x < 1 \end{cases}$ Tính giới hạn

$K = \lim_{x \to 1} f (x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- x^{3} + 3 x) = - 1 + 3 = 2$ ;

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (5 x^{4} - 6 x^{2} - x) = - 2$

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$

Câu 3:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x - 1)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to 2^{+}} (x - 1) = 1$ .

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{- (x - 2) (x - 1)}{x - 2}$ .

$= \lim_{x \to 2^{+}} (1 - x) = - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} \neq \lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2}$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$ .

Câu 4:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1$

Câu 5:

Tìm giới hạn

\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3)}{\sqrt{x^{2} (x + 1)}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 1} (x + 3)}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{0}{1} = 0$ .

Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$ .

Câu 6:

Tìm

\lim_{x \to 1} f (x)

với

f (x) = \{\begin{cases} x - 3 khi x \leq 1 \\ 1 - \sqrt{7 x^{2} + 2} khi x > 1 \end{cases}

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x - 3) = - 2 \\ \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 - \sqrt{7 x^{2} + 2}) = - 2 \end{cases}$ .

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 2$ nên $\lim_{x \to 1} f (x) = - 2$ .

Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vô cùng.

Câu 7:

Tìm giới hạn $L = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4})$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4}) = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{(x - 2) (x + 2)})$ .

$= \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 2 - 1}{(x - 2) (x + 2)} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 2)}$

Ta có $\lim_{x \to 2^{-}} (x - 2) = 0$ và $x \to 2^{-} \Rightarrow x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$

Mặt khác $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4} > 0$ .

Kết luận $L = - \infty$ .

Câu 8:

Tìm $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 12}}{{(x + 3)}^{2}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 12}}{{(x + 3)}^{2}} = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x^{2} - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - \sqrt{x + 12})} = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x - 4)}{(x + 3) (x - \sqrt{x + 12})}$

Ta có $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x - 4)}{(x - \sqrt{x + 12})} = \frac{7}{6}$ .

Mặt khác $\lim_{x \to - 3^{+}} (x + 3) = 0$ và $x \to - 3^{+} \Rightarrow x > - 3 \Rightarrow x + 3 > 0$ .

Kết luận $L = + \infty$

Câu 9:

Tìm $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + x) = \lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} (2 + \frac{1}{x^{2}})} + x) = \lim_{x \to - \infty} x (- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} + 1) = + \infty$ .

Vì

\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} x = - \infty \\ \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} + 1) = 1 - \sqrt{2} < 0 \end{cases}

.

Câu 10:

Tìm $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{2} - 4 x} - x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[3]{x^{2} - 4 x} - x) = \lim_{x \to + \infty} x (\sqrt[3]{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}}} - 1) = - \infty$ .

Sau đây chúng ta xét các bài tập về tìm điều kiện để tồn tại giới hạn.

Câu 11:

Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x + m khi x < 0 \\ x^{2} + 1 khi x \geq 0 \end{cases}$ có giới hạn tại x=0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + m) = m; \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} (x^{2} + 1) = 1$ .

Hàm số có giới hạn tại x=0 khi $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) \Leftrightarrow m = 1$ .

Câu 12:

Biết hàm số $y = f (x) = \{\begin{cases} 3 x + b, khi x \geq - 1 \\ x + a, khi x > - 1 \end{cases}$ cơ giới hạn tại $x = - 1$ . Tính giá trị của a-b ?

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Tại điểm x=-1 ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} (3 x + b) = - 3 + b = f (- 1)$

và $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} (x + a) = - 1 + a$

Hàm số có giới hạn tại x=-1 khi và $\lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x)$ chỉ khi .

Điều này tương đương với

- 3 + b = - 1 + a \Rightarrow a - b = - 2

.

Câu 13:

Kết quả $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}})$ là

A. $- \infty$

B. 0

C. $+ \infty$

D . không tồn tại

Xem đáp án

ta có: $\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{2}} - \lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{x^{3}} = + \infty$

Câu 14:

Kết quả $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x}$ là

A. -1

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x}{1 - \sqrt{x - 1}} = 1$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{x^{3} - x^{2}}}{\sqrt{x - 1} + 1 - x}$ .

Vì $x \to 1^{+}$ nên nhập $C A L C x = 1 + \frac{1}{10^{11}}$ .

Câu 15:

Kết quả đúng của

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1}

bằng

A. $- \infty$

B. -1

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1} = + \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1}$ .

Vì

x \to 1^{+}

nên nhập

C A L C x = 1 + \frac{1}{10^{11}}

.

Câu 16:

Giá trị đúng của $\lim_{x \to 3} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ bằng

A. Không tồn tại

B. 0

C. 1

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{x - 3}{x - 3} = 1$ .

Mặt khác $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{x - 3} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 - x}{x - 3} = - 1$ .

Do $\lim_{x \to 3^{+}} \frac{|x - 3|}{x - 3} \neq \lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{x - 3}$ . Nên không tồn tại giới hạn.

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{|x - 3|}{x - 3}$ .

Vì $x \to 3^{+}$ nên nhập $C A L C x = 3 + \frac{1}{10^{11}}$ .

Vì $x \to 3^{-}$ nên nhập $C A L C x = 3 - \frac{1}{10^{11}}$ .

Hai giá trị không gần nhau nên không tồn tại giới hạn.

Câu 17:

Giới hạn $A = \lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x)$ kết quả bằng

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{- 1}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 x^{2} - x + 1}{\sqrt{x^{2} - x + 1} + 2 x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{- 3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}} + \frac{2}{x}} = - \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = (\sqrt{x^{2} - x + 1} - 2 x)$ .

Vì $x \to + \infty$ nên nhập $C A L C x = 10^{10}$ .

Câu 18:

Giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{4} - x + 1})$ có kết quả là

A. $+ \infty$

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $B = \lim_{x \to - \infty} (2 x + \sqrt{4 x^{4} - x + 1}) = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 x^{4} + 4 x^{2} + x - 1}{2 x - \sqrt{4 x^{4} - x + 1}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{- 4 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2}{x^{3}} - \sqrt{\frac{4}{x^{4}} - \frac{1}{x^{7}} + \frac{1}{x^{8}}}} = + \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = (2 x + \sqrt{4 x^{4} - x + 1})$ .

Vì $x \to - \infty$ nên nhập $C A L C x = - 10^{10}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ . Tìm $\lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ .

A. $- \infty$

B. $\frac{- 2}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $\lim_{x \to 1^{+}} (\frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1}{x - 1} (\frac{1}{x^{2} + x + 1} - 1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{- 2}{3 (x - 1)} = - \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = \frac{1}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$ .

Vì $x \to 1^{+}$ nên nhập $C A L C x = 1 + \frac{1}{10^{10}}$ .

Câu 20:

Giới hạn $B = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x)$ bằng

A. $+ \infty$

B. $+ \infty$

C. $\frac{1}{4}$

D. 0

Xem đáp án

Cách 1:

Ta có $B = \lim_{x \to - \infty} x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x) = \lim_{x \to - \infty} \frac{x (3 x^{2} + 1)}{\sqrt{4 x^{2} + 1} + x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^{2}}}{- \sqrt{\frac{4}{x^{4}} + \frac{1}{x^{6}}} + \frac{1}{x^{2}}} = - \infty$ .

Cách 2:

(Sử dụng MTCT)

Nhập hàm số $f (x) = x (\sqrt{4 x^{2} + 1} - x)$ .

Vì $x \to - \infty$ nên nhập $C A L C x = - 10^{10}$ .

Câu 21:

Tìm

\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} f (x)

với

f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 3, khi |x| < 2 \\ 5, khi |x| = 2 \\ 3 x - 1, khi |x| > 2 \end{cases}

A. không tồn tại

B. $- \infty$

C. 2

D. -7

Xem đáp án

Với $f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 3, khi |x| < 2 \\ 5, khi |x| = 2 \\ 3 x - 1, khi |x| > 2 \end{cases}$ Ta có $\lim_{x \to {(- 2)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 2)}^{-}} (3 x - 1) = - 7$

Câu 22:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 1}{1 - x}, khi x < 1 \\ \sqrt{2 x - 2}, khi x \geq 1 \end{cases}$ . Khi đó $\lim_{x \to 1^{-}} f (x)$ bằng

A. 0

B. 2

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Với hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + 1}{1 - x}, khi x < 1 \\ \sqrt{2 x - 2}, khi x \geq 1 \end{cases}$ Khi đó $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x^{2} + 1}{1 - x} = + \infty$

Câu 23:

Cho $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{4 - x^{2}}, khi - 2 \leq x \leq 2 \\ \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, khi x > 2 \end{cases}$ . Giá trị của $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x)$ là

A. 0

B. 4

C. $+ \infty$

D. không tồn tại

Xem đáp án

Với hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{4 - x^{2}}, khi - 2 \leq x \leq 2 \\ \frac{x^{2} - 4}{x - 2}, khi x > 2 \end{cases}$ . Khi đó $\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 2^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0$ .

Câu 24:

Giá trị thực của tham số a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{x - 2} + 3, khi x \geq 2 \\ a x - 1, khi x < 2 \end{cases}$ tồn tại $\lim_{x \to 2} f (x)$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} (\sqrt{x - 2} + 3) = 3 \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a x - 1) = 2 a - 1 \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 2} f (x)$ thì $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

$\Leftrightarrow 3 = 2 a - 1$

$\Leftrightarrow a = 2$ .

Câu 25:

Giá trị thực của tham số m để hàm số

f (x) = \{\begin{cases} m - 3 khi x < 1 \\ 2 m - 13 khi x = 1 \\ 1 - \sqrt{7 x^{2} + 2} khi x > 1 \end{cases}

tồn tại

\lim_{x \to 1} f (x)

là

A. không tồn tại

B. m =1

C. m=5

D. m = $\frac{11}{2}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 - \sqrt{7 x^{2} + 2}) = - 2 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (m - 3) = m - 3 \\ f (1) = 2 m - 13 \end{cases}$

Để tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$ thì $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow - 2 = m - 3 = 2 m - 13$ .

Vậy không tồn tại m.

Câu 26:

Tìm các giá trị thực của tham số b để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}}, khi x > 3 \\ b + \sqrt{3}, khi x \leq 3 \end{cases}$ có giới hạn tại x=3.

A. $\sqrt{3}$

B. $- \sqrt{3}$

C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

D. $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{3} - x + 6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} (b + \sqrt{3}) = b + \sqrt{3} \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 3} f (x)$ thì $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{3}} = b + \sqrt{3} \Leftrightarrow b = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 27:

Các giá trị thực của tham số m để hàm số $h (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} + 1}{x + 1}, khi x < - 1 \\ m x^{2} - x + m^{2}, khi x \geq - 1 \end{cases}$ có giới hạn tại $x = - 1$ là

A. $m = - 1; m = 2$

B. $m = - 1; m = - 2$

C. $m = 1; m = - 2$

D. $m = 1; m = 2$

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (m x^{2} - x + m^{2}) = m^{2} + m + 1 \\ \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} (\frac{x^{3} + 1}{x + 1}) = \lim_{x \to - 1^{-}} (x^{2} - x + 1) = 3 \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to - 1} f (x)$ thì $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x)$

$\Leftrightarrow m^{2} + m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1; m = - 2$ .

Câu 28:

Giá trị thực của tham số m để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2}, khi x > 3 \\ m khi x \leq 3 \end{cases}$ có giới hạn $\lim_{x \to 3} f (x)$ là bao nhiêu?

A. m=-1

B. m= 4

C. m=-4

D. m=1

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} = \lim_{x \to 3^{+}} \frac{(3 - x) (\sqrt{x + 1} + 2)}{x - 3} = - 4 \\ \lim_{x \to 3^{-}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} m = m \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 3} f (x)$ thì $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{-}} f (x) \Leftrightarrow m = - 4$ .

Câu 29:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} a^{2} x^{2} khi x \leq \sqrt{2} \\ (2 - a) x^{2} khi x > \sqrt{2} \end{cases}$ có giới hạn tại $x = \sqrt{2}$ . Tổng các giá trị của S là

A. 3

B. 0

C. 1

D. -1

Xem đáp án

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt[3]{3 x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{3 (x - 2)}{(x - 2) (\sqrt[3]{{(3 x + 2)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{3 x + 2} + 4)} = \frac{1}{4} \\ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} (a x + \frac{1}{4}) = 2 a + \frac{1}{4} \end{cases}$

Vậy để tồn tại $\lim_{x \to 2} f (x)$ thì $\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x)$

$\Leftrightarrow 2 a + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = 0$ .

Câu 30:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x - 2 khi x \leq 2 \\ a x + b khi 2 < x < 6 \\ x + 4 khi x \geq 6 \end{cases}$ . Biết hàm số $f (x)$ có giới hạn tại x=2 và x=6. Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $2 a - b = 0$

B. $2 a + b = 0$

C. $a - 2 b = 0$

D. $a + 2 b = 0$

Xem đáp án

Vì hàm số có giới hạn tại x=2 và x=6 nên ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{-}} f (x) \\ \lim_{x \to 6^{+}} f (x) = \lim_{x \to 6^{-}} f (x) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ 6 a + b = 10 \end{cases}$ .

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} khi x \geq 0 \\ a x + b - 1 khi - 2 < x < 0 \\ \frac{x^{2} - 4}{x + 2} khi x \leq - 2 \end{cases}$ . Tìm a, b để hàm số cùng có giới hạn tại x=-2 và x=0 .

A. $a = \frac{61}{24}, b = \frac{25}{12}$

B. $a = \frac{37}{24}, b = \frac{1}{12}$

C. $a = \frac{61}{24}, b = \frac{1}{12}$

D. $a = \frac{85}{24}, b = \frac{25}{12}$

Xem đáp án

Để hàm số có giới hạn tại x=-2 và x=0 thì

$\{\begin{cases} \lim_{x \to - 2^{+}} (a x + b - 1) = \lim_{x \to - 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x + 2} \Leftrightarrow - 2 a + b - 1 = - 4 (1) \\ \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{8 - x}}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (a x + b - 1) \Leftrightarrow b - 1 = \frac{13}{12} (2) \end{cases}$ Từ (1) và (2) ta có $\{\begin{cases} - 2 a + b = - 3 \\ b - 1 = \frac{13}{12} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{61}{24} \\ b = \frac{25}{12} \end{cases}$ .

Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 2: Giới hạn hàm số có đáp án

Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương