Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB

Bài 1 trang 111 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Trả lời

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

a) Do M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (giả thiết)

Nên IM $\perp$ BC, IN $\perp$ AC, IP $\perp$ AB.

Vì I là giao điểm của ba đường phân giác (giả thiết)

Nên IM = IN = IP (tính chất giao điểm ba đường phân giác)

Vì IM = IN nên $∆$IMN cân tại I.

Vì IN = IP nên $∆$INP cân tại I.

Vì IP = IM nên $∆$IPM cân tại I.

b) +) Xét $∆$API (vuông tại P) và $∆$ANI (vuông tại N) có:

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó $∆$API = $∆$ANI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.

+) Xét $∆$BMI (vuông tại M) và $∆$BPI (vuông tại P) có:

BI là cạnh chung,

IM = IP (chứng minh trên)

Do đó $∆$BMI = $∆$BPI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra BM = BP (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.

+) Xét $∆$CMI (vuông tại M) và $∆$CNI (vuông tại N) có:

CI là cạnh chung,

IM = IN (chứng minh trên).

Do đó $∆$CMI = $∆$CNI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).

Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7