Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB
431
16/11/2023
Luyện tập 3 trang 111 Toán 7 Tập 2:
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
Trả lời
GT
|
ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác,
M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB
|
KL
|
IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.
|
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Do M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (giả thiết)
Nên IM BC, IN AC, IP AB.
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác (giả thiết)
Nên IM = IN = IP (tính chất giao điểm ba đường phân giác)
+) Chứng minh IA là đường trung trực của đoạn thẳng NP.
Vì IN = IP (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của NP (1)
Xét API (vuông tại P) và ANI (vuông tại N) có:
AI là cạnh chung,
IP = IN (chứng minh trên)
Do đó API = ANI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).
Do đó A thuộc đường trung trực của NP (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA là đường trung trực của NP.
+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.
Vì IP = IM (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của PM. (3)
Xét BMI (vuông tại M) và BPI (vuông tại P) có:
BI là cạnh chung,
IM = IP (chứng minh trên)
Do đó BMI = BPI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BM = BP (hai cạnh tương ứng).
Do đó B thuộc đường trung trực của PM. (4)
Từ (3) và (4) suy ra IB là đường trung trực của PM.
+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.
Vì IM = IN (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của MN. (5)
Xét CMI (vuông tại M) và CNI (vuông tại N) có:
CI là cạnh chung,
IM = IN (chứng minh trên).
Do đó CMI = CNI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).
Do đó C thuộc đường trung trực của MN. (6)
Từ (5) và (6) suy ra IC là đường trung trực của MN.
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Bài tập cuối chương 7