Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x0; f(x0)) ∈ (C)

HĐ4 trang 84 Toán 11 Tập 2: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x₀; f(x₀)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x₀.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc k_PQ của cát tuyến PQ.

b) Khi x → x₀ thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Trả lời

a) Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\left(x-x_0;f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right)$ . Suy ra ${\overrightarrow{n}}_{PQ}=\left(f\left(x\right)-f\left(x_0\right);x_0-x\right)$ .

Phương trình đường thẳng PQ là

[f(x) – f(x₀)](x – x₀) + (x_0­ – x)[y – f(x₀)] = 0

Hay [f(x) – f(x₀)]x – (x – x₀)y – f(x)x₀ + xf(x₀) = 0

Tức là y = $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}x+\frac{xf\left(x_0\right)-x_{0}f\left(x\right)}{x-x_0}$ .

Do đó, hệ số góc của cát tuyến PQ là $k_{PQ}=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ .

b)

Khi x$\to$x_o thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P(x₀; f(x₀)) và khi x = x₀ hai điểm này sẽ trùng nhau.

c)

Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến gần đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: