Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Lời giải:
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng.
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Dùng êke để kiểm tra xem AO có vuông góc với xOy không.
b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.
Lời giải:
a) AO vuông góc với xOy.
b) Góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà là góc vuông.
a) Giải thích tại sao hai tam giác CEB và CFE bằng nhau.
b) Có nhận xét gì về tam giác DEF? Từ đó suy ra góc giữa d và c.
Lời giải:
a) Ta có:
Tam giác EBF có EF ⊥ OB
O là trung điểm của EF
⇒ Tam giác EBF cân tại B.
⇒ BE = BF
Tương tự:
Tam giác ECF có EF ⊥ OC
O là trung điểm của EF
⇒ Tam giác ECF cân tại C .
⇒ CE = CF
Xét ΔCEB và ΔCFB có:
BE = BF; CE = CF; cạnh BC chung
Do đó ΔCEB = ΔCFB (c.c.c)
b) Vì ΔCEB = ΔCFB nên DE = DF
Suy ra tam giác DEF cân tại D.
Mà DO là trung tuyến của tam giác DEF nên DO ⊥ EF.
Do đó d ⊥ c.
Hoạt động khám phá 3 trang 58 Toán 11 Tập 2:
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Mà a, b cắt nhau nằm trong (P)
⇒ d ⊥ (P).
Lời giải:
a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên A ⊥ BC
Mà ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC
Và AB ∩ SA = {A}
Do đó BC ⊥ (SAB)
Tương tự: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD
Mà ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD
Và AD ∩ SA = {A} .
Do đó CD ⊥ (SAD) .
b) Ta có:
Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ (AHK) ⇒ SC ⊥ HK.(3)
Xét ΔSAB và ΔSAD có:
SA chung
AB = AD
Do đó ΔSAB = ΔSAD (c.g.c)
Suy ra SB = SD; (các cạnh và các góc tương ứng)
Xét tam giác SBD:
SB = SD
⇒ ΔSBD cân tại S.
Xét ΔSAH và ΔSAK có:
; cạnh SA chung ;
Do đó ΔSAH = ΔSAH (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra SH = SK (các cạnh tương ứng)
Khi ΔSHK cân tại S nên
Ta có:
⇒ (hai góc ở vị trí so le trong)
(4)
Từ (3) và (4) suy ra HK ⊥ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI .
Vận dụng 1 trang 59 Toán 11 Tập 2: Làm thế nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?
Lời giải:
Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên khi ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.
2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
Hoạt động khám phá 4 trang 60 Toán 11 Tập 2: Nêu nhận xét về vị trí tương đối của
a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất.
b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn.
c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà.
Lời giải:
a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất song song với nhau.
b) Mặt bàn và mặt đất song song với nhau.
c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà song song với nhau.
Lời giải:
a) Xét tam giác OAB:
A′ là trung điểm OA
B′ là trung điểm AB
Nên A ′B′ là đường trung bình của ΔOAB.
Do đó A ′B′ // OB ⇒ A ′B′ // (OBC) (vì
Tương tự: B′C′ là đường trung bình của ΔABC
Do đó B ′C′ // BC ⇒ B ′C′ // (OBC) (vì
Ta có:
Mà OA ⊥ (OBC)
Vậy OA ⊥ (A ′B′C′).
b) Ta có OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC
M à OH ⊥ BC (OH là đường cao của ΔOBC) , suy ra BC ⊥ (OAH)
Lại có: B′C′ // BC nên B ′C′ ⊥ (OAH).
Lời giải:
a) Xét tam giác SBC:
M là trung điểm SB
Q là trung điểm SC
Do đó MQ là đường trung bình của ΔSBC.
(1)
Tương tự: MN là đường trung bình của ΔSAB . Khi đó:
MN ⊥ (ABCD) ⇒ MN ⊥ AB (2)
Xét hình thang ABCD:
N là trung điểm AB
P là trung điểm CD
Do đó NP là đường trung bình của hình thang ABCD . Khi đó:
Từ (1), (2) và (3) suy ra AB ⊥ (MNPQ)
b) Ta có:
Mà BC // MQ
Do đó MQ ⊥ (SAB)
Lời giải:
‒ Ta dùng êke kiểm tra hai mép tấm gỗ vuông góc với trụ chống thì tấm gỗ vuông góc với trụ chống.
‒ Ta kiểm tra tấm gỗ vuông góc với các trụ chống thì các trụ chống song song với nhau.
3. Phép chiếu vuông góc
Lời giải:
Đường thẳng MM′ vuông góc với mặt sàn.
Lời giải:
Ta có:
Vậy B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB)
Mặt khác :
Vậy A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) .
Lại có B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB) .
Vậy đường thẳng AB là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD trên mặt phẳng (SAB) .
+ Ta có:
A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) .
B là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB) .
Mà
Vậy tam giác SAB là hình chiếu vuông góc của tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB).
a) Xác định hình chiếu b′ của b trên (P).
b) Cho a vuông góc với b, nêu nhận xét về vị tri tương đối giữa:
i) đường thẳng a và mp (b, b′) ;
c) Cho a vuông góc với b′ , nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:
i) đường thẳng a và mp (b, b′) ;
ii) giữa hai đường thẳng a và b.
Lời giải:
a) Ta có: AA ′ ⊥ (P), BB ′ ⊥ (P),
Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng b trên mặt phẳng (P) là đường thẳng A ′ B ′ .
Vậy .
b)
i)
ii)
c)
i)
ii)
Lời giải:
Ta có:
⇒ (1)
Mà (2)
Từ (1) và (2) ⇒ .
Lời giải:
Thả dây dọi từ điểm A và đánh dấu điểm A′ nơi đầu quả dọi chạm sàn.
Thả dây dọi từ điểm B và đánh dấu điểm B′ nơi đầu quả dọi chạm sàn.
Khi đó đoạn thẳng A′B′ là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà.
Bài tập
b) Gọi M là trung điểm của AB . Chứng minh CM ⊥ (SAB) .
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
AB // CD ⇒ AM // CD
AM = CD
⇒ AMCD là hình bình hành
Mà ⇒ AMCD là hình chữ nhật.
Lời giải:
a) Xét tam giác ADB:
H là trung điểm AB
K là trung điểm AD
⇒ HK là đường trung bình của ΔADB.
Ta có:
b) Gọi
Xét ΔAHD và ΔDKC:
AH = DK
AD = CD
⇒ ΔAHD = ΔDKC (c.g.c)
Ta có:
⇒ DH ⊥ CK
Mà SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ CK
Vậy CK ⊥ (SDH).
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) .
Lời giải:
a) Ta có: AB // CD (SC, AB) = (SC, CD) =
Xét ΔSCD , áp dụng định lí cos, ta có :
Do đó .
b) Gọi
Ta có:
ΔSAC cân tại S nên SO ⊥ AC (1)
ΔSBD cân tại S nên SO ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra SO ⊥ (ABCD)
Do đó O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD).
Mà A, B ∈ (ABCD)
Vậy ΔOAB là hình chiếu vuông góc của ΔSAB lên (ABCD).
Ta có: AC =
Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.
⇒ = BO =
⇒ .
Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là .
Lời giải:
Tam giác SBC cân tại S (vì SB = SC = a ) có
Suy ra ΔSBC đều nên BC = a
Áp dụng định lí Pythagore vào ΔSAB vuông tại S , ta có :
Lời giải:
Áp dụng định lí cos vào ΔSAC , ta có:
Ta có: AB2 + BC2 = AC2 nên ΔABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo) .
Lại có I là trung điểm AC nên
ΔSAC cân tại S mà I là trung điểm của AC nên SI ⊥ AC (1)
Ta có: SI2 + IB2 = SB2 nên ΔSBI vuông tại I (theo định lí Pythagore đảo) .
Suy ra SI ⊥ IB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABC)
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA′ và BC; A ′B′ và AC.
b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB ′CC′ ) .
Lời giải:
a) + Vì AA′ // BB ′ nên (AA′, BC) = (BB′, BC) =
Ta có: AA ′ ⊥ (ABC), AA′ // BB ′ ⇒ BB ′ ⊥ (ABC) hay BB ′ ⊥ BC
⇒
+ Vì A′B′ // AB nên (A ′B′, AC) = (AB, AC) =
ΔABC có:
⇒
b) Kẻ AK ⊥ BC. Mà AA ′ ⊥ (ABC), AA ′ // BB′
⇒ BB ′ ⊥ (ABC)
⇒ BB ′ ⊥ AK (1)
Ta có: AK ⊥ BC; BC // B′C' ⇒ AK ⊥ B′C′ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AK ⊥ (BB′C′C)
⇒ K là hình chiếu vuông góc của A trên (BB ′ C ′ C)
Mà B, B ′ ∈ (BB ′ C ′ C)
Vậy ΔKBB ′ là hình chiếu vuông góc của ΔABB ′ lên (BB ′C′C ).
Ta có: ΔABC cân tại A có AK ⊥ BC K là trung điểm của BC
⇒ KB = KC =
⇒ .
Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB′ trên mặt phẳng (BB′CC′ ) là .
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: