Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, góc ASB = 90o, góc BSC = 60o và góc ASC = 120o

Bài 4 trang 64 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{\mathrm{ASB}}=90°,$ $\widehat{\mathrm{BSC}}=60°$ và $\widehat{\mathrm{ASC}}=120°$ . Gọi I là trung điểm cạnh AC . Chứng minh SI ⊥ (ABC) .

Trả lời

Tam giác SBC cân tại S (vì SB = SC = a ) có $\widehat{\mathrm{BSC}}={60}^{\text{o}}$

Suy ra ΔSBC đều nên BC = a

Áp dụng định lí Pythagore vào ΔSAB vuông tại S , ta có :

$\text{AB}=\sqrt{{\text{SA}}^2+{\text{SB}}^2}=\text{a}\sqrt{2}$

Áp dụng định lí cos vào ΔSAC , ta có:

$\text{AC}=\sqrt{{\text{SA}}^2+\text{S}{C}^2-2.SA.SC.cos\widehat{ASC}}=\text{a}\sqrt{3}$

Ta có: AB² + BC² = AC² nên ΔABC vuông tại B (theo định lí Pythagore đảo) .

Lại có I là trung điểm AC nên $\mathrm{BI}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

ΔSAC cân tại S mà I là trung điểm của AC nên SI ⊥ AC (1)

$\Rightarrow \text{SI}=\sqrt{{\mathrm{SA}}^2-{\mathrm{AI}}^2}=\frac{a}{2}$

Ta có: SI² + IB² = SB² nên ΔSBI vuông tại I (theo định lí Pythagore đảo) .

Suy ra SI ⊥ IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra SI ⊥ (ABC)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: