Giải SGK Toán 11 (Cánh diều) Bài 1: Dãy số

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số

Câu hỏi khởi động trang 43 Toán 11 Tập 1: Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Câu hỏi khởi động trang 43 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?

Lời giải:

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm “dãy số” trong toán học. Bài học ngày hôm nay sẽ tìm hiểu về khái niệm này.

I. Khái niệm

Hoạt động 1 trang 43 Toán 11 Tập 1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.

Lời giải:

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Luyện tập 1 trang 44 Toán 11 Tập 1: Hàm số u(n) = n3 xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

Lời giải:

Số hạng đầu của khai triển là u1 = u(1) = 13 = 1.

Số hạng cuối của khai triển là u5 = u(5) = 53 = 125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

Hoạt động 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số u(n) = 1n, n  ℕ*. Hãy viết các số u1; u2; ...; un; ... theo hàng ngang.

Lời giải:

Ta có: u1 = 11 =1; u2 = 12 ; u3 = 13 ; ... un = 1n ; ...

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) = n2.

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (un).

b) Viết dạng khai triển của dãy số (un).

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: u­1 = 12 = 1; u2 = 22 = 4; u3 = 32 = 9; u4 = 42 = 16, u5 = 52 = 25.

Số hạng tổng quát của dãy số un là un = n2 với n  ℕ.

b) Dạng khai triển của dãy số u1 = 1; u2 = 4; u3 = 9; u4 = 16, u5 = 25, ..., un = n2, ...

II. Cách cho một dãy số

Hoạt động 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét mỗi dãy số sau:

● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)

● Cho số 2=1,414213562... . Dãy số (un) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, un là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số 2 . Cụ thể là: u1 = 1,4; u2 = 1,41; u3 = 1,414; u4 = 1,4142; u5 = 1,41421; ... (2)

● Dãy số (un) với (un) = (– 2)n (3)

● Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un-1 + 2 với mọi n ≥ 2 (4)

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.

Lời giải:

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.

- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Luyện tập 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un=n33n+1 . Tìm u33, u333 và viết dãy số dưới dạng khai triển.

Lời giải:

Ta có: u3=333.3+1=0 ;

u333=33333.333+1=0,33.

Dãy số dưới dạng khai triển là:

u1=12;u2=17;u3=0,u4=113;...;un=n33.n+1;...

III. Dãy số tăng, dãy số giảm

Hoạt động 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un = n2. Tính un+1. Từ đó, hãy so sánh un+1 và un với mọi n  *.

Lời giải:

Ta có: un+1 = (n + 1)2 = n2 + 2n + 1.

Xét hiệu: un+1 – un = n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 > 0 với mọi n  ℕ*.

Vậy un+1 > un.

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn = 13n là một dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: un+1=13n+1

Xét hiệu un+1un=13n+113n=23.13n<0

Suy ra un+1 < un.

Vậy dãy số giảm.

IV. Dãy số bị chặn

Hoạt động 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) với un = 1+1n . Khẳng định un ≤ 2 với mọi n  * có đúng không?

Lời giải:

Xét hiệu un – 2 = 1+1n - 2 = 1n-1

Vì n  ℕ* nên n ≥ 1 suy ra 1n≤ 1 do đó: 1n-1≤ 0 .

Vậy un – 2 ≤ 0 hay un ≤ 2.

Luyện tập 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (un) với un=n2+12n2+4 là bị chặn.

Lời giải:

Ta có: un=n2+12n2+4=12n2+1n2+2=1211n2+2<12 .

Ta lại có: un=n2+12n2+4>0

Do đó 0<un<12.

Vì vậy dãy số (un) bị chặn.

Bài tập

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức sau:

a) un = 2n2 + 1;

b) un = 1n2n1 ;

c) un = 2nn ;

d) un = 1+1nn .

Lời giải:

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) là: u1 = 2.12 + 1 = 3; u2 = 2.22 + 1 = 9; u3 = 2.32 + 1 = 19; u4 = 2.42 + 1 = 33; u­5 = 2.52 + 1 = 51.

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un = 1n2n1 là:

u1=112.11=11=-1;

u2=122.21=13;

u3=132.31=-15;

u4=142.41=17;u5=152.51=19

c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy un = 2nn là:

u1 = 211= 2 ; u2 = 221 =4; u3 = 231= 8 ; u4 = 241 = 16 ; u5 = 251 = 32 .

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un = 1+1nn là:

u1 = 1+111 = 2; u2 = 1+122=94 ; u3 = 1+133=6427 ; u4 = 1+144=625256 ; u5 = 1+155=77763125.

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: a) Gọi un là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (un).

b) Gọi vn là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (vn).

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u1 = 1;

Số chấm ở hàng thứ hai là: u2 = 2;

Số chấm ở hàng thứ ba là: u3 = 3;

Số chấm ở hàng thứ tư là: u4 = 4;

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: un = n.

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v1 = 1 = 13;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v2 = 8 = 23;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v3 = 27 = 33;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v4 = 64 = 43;

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: vn = n3.

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết:

a) un=n3n+2 ;

b) un=3n2n.n! ;

c) un = (– 1)n.(2n + 1).

Lời giải:

a) Ta có: un+1=n+13n+1+2=n2n+3

Xét hiệu un+1un=n2n+3n3n+2=n24n2+9n+3n+2=5n+3n+2>0,n* .

Suy ra un+1 > un

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: un+1=3n+12n+1.n+1!=3.3n2n+1.2n.n!=32n+1.un

Vì n  ℕ* nên 32n+1<32 suy ra un+1 < un.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có: un+1 = (– 1)n+1.(2n+1 + 1)

+) Nếu n chẵn thì un+1 = – (2.2n + 1) và un = 2n + 1. Do đó un+1 < un.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì un+1 = 2.2n + 1 và un = – (2n + 1). Do đó un+1 > un.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) un = n2 + 2;

b) un = – 2n + 1;

c) un=1n2+n .

Lời giải:

a) Ta có: n  ℕ* nên n ≥ 1 suy ra n2 + 2 ≥ 3

Do đó un ≥ 3

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n  ℕ* nên n ≥ 1 suy ra un = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó un ≤ – 1.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: un=1n2+n=1nn+1=1n1n+1

Vì n  ℕ* nên n ≥ 1 suy ra 1n>1n+1un=1n1n+1> 0

Ta lại có: 1n1 và 1n+112 suy ra un=1n1n+1112=12

Do đó 0<un12

Vậy dãy số (un) bị chặn.

Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số thực dương (un). Chứng minh rằng dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi un+1un>1 với mọi n  *.

Lời giải:

+) Nếu un+1un>1 với mọi n  ℕ* thì un+1 > un. Do đó dãy số (un) là dãy số tăng.

+) Nếu (un) là dãy số tăng thì un+1 > un do đó un+1un>1.

Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi Pn (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của Pn tính theo n.

Lời giải:

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P1 = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P2 = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P3 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)2 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P4 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)3 + 6.(1 + 0,5%)3 + 6(1 + 0,5%)2 + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

Pn = 100,5.(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-1 + 6(1 + 0,5%)n-2 + 6.(1 + 0,5%)n-3 + ... + 6 với mọi n  ℕ*.

Câu hỏi liên quan

a) Bảy số tam giác đầu là u1 = 1; u2 = u1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3; u3 = u2 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u4 = u3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10; u5 = u4 + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u6 = u5 + (5 + 1) = 15 + 6 = 21; u7 = u6 + (6 + 1) = 21 + 7 = 28. b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u1 = 1, u2 = 1 + 2, u3 = 1 + 2 + 3, u4 = 1 + 2 + 3 + 4, ... Từ đó suy ra un + 1 = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)  . Vậy . c) Theo công thức ở câu b) ta có: . Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.
Xem thêm
Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm “dãy số” trong toán học. Bài học ngày hôm nay sẽ tìm hiểu về khái niệm này.
Xem thêm
Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là T1 = 50 . 75% = 37,5 (triệu đồng). Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là T2 = T1 . 75% = 37,5 . 75% = 28,125 (triệu đồng). Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là T3 = T2 . 75% = 28,125 .75% = 21,09375 (triệu đồng). Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là T4 = T3 . 75% = 21,0375 . 75% ≈ 15,8203 (triệu đồng). Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là T5 = T4 . 75% ≈ 15,8203 . 75% ≈ 11,8652 (triệu đồng). Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng là Tn = T1 . (0,75)n – 1 (triệu đồng).
Xem thêm
Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là A5 = 2,5 . (1,035)5 ≈ 2,9692 (tỉ đồng).
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Dãy số
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!