Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 4
A. Trắc nghiệm
Giải Toán 10 trang 71 Tập 1
Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. và .
B. và .
C. và .
D. và .
Lời giải
+) Xét hai vectơ và :
Ta có: suy ra hai vectơ và không cùng phương.
Do đó A sai.
+) Xét hai vectơ và :
Ta có: suy ra hai vectơ và cùng phương.
Do đó B đúng.
+) Xét hai vectơ và :
Đây là hai vectơ đơn vị nên chúng vuông góc với nhau suy ra hai vectơ và không cùng phương.
Do đó C sai.
+) Xét hai vectơ và :
Ta có: suy ra hai vectơ và không cùng phương.
Do đó D sai.
Vậy ta chọn phương án B.
Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A. và .
B. và .
C. và .
D. và .
Lời giải
+) Xét hai vectơ và :
Ta có:
Suy ra hai vectơ không vuông góc. Do đó A sai.
+) Xét hai vectơ và :
Ta có:
Suy ra hai vectơ không vuông góc với nhau. Do đó B sai.
+) Xét hai vectơ và :
Ta có:
Suy ra hai vectơ vuông góc với nhau. Do đó C đúng.
+) Xét hai vectơ và :
Ta có:
Suy ra hai vectơ không vuông góc. Do đó D sai.
Vậy ta chọn phương án C.
Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
+) Xét vectơ . Do đó A sai.
+) Xét vectơ . Do đó B sai.
+) Xét vectơ . Do đó C sai.
+) Xét vectơ . Do đó D đúng.
Vậy ta chọn phương án D.
Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1: Góc giữa vectơ và vectơ có số đo bằng:
A. 90°.
B. 0°.
C. 135°.
D. 45°.
Lời giải
Vậy ta chọn phương án C.
Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
+) Xét phương án A:
;
.
Suy ra Do đó A sai.
+) Xét phương án B:
Suy ra chỉ đúng khi . Do đó B sai.
+) Xét phương án C:
Do đó C sai.
+)Xét phương án D:
Theo tính chất của tích vô hướng ta có:
(tính chất phân phối đối với phép trừ).
Vậy ta chọn phương án D.
Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Lời giải
ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a;
Và
Lấy điểm M và N sao cho ABDM, ABNC là các hình bình hành.
+) Vì ABDM là hình bình hành nên
Do đó A sai.
+) Vì ABNC là hình bình hành nên
Do đó B đúng.
+) Ta có .
Do đó C sai.
+) Ta có:
Do đó D sai.
B. Tự luận
Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ và .
b) Biểu thị vectơ theo hai vectơ và
Lời giải
a) Vì điểm M nằm trên cạnh BC nên hai vectơ và là hai vectơ ngược hướng.
Lại có MB = 3MC nên .
Vậy
b) Theo câu a:
Ta có:
(quy tắc ba điểm)
Vậy .
Giải Toán 10 trang 72 Tập 1
Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Suy ra O là trung điểm của AC và BD.
và
Ta có:
+)
(Vì )
+)
(Vì )
Suy ra
Vậy
Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2).
a) Tìm tọa độ của các vectơ và
b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Lời giải
a) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: và
b) Ta có:
vuông tại B.
Do ;
.
Với A(2; 1) và C(‒5; 2) ta có:
Diện tích tam giác vuông ABC là:
(đơn vị diện tích)
Chu vi tam giác ABC là:
AB + BC + AC = (đơn vị độ dài)
c) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:
d)
Để tứ giác BCAD là hình bình hành thì
Giả sử D(x; y) là điểm cần tìm.
Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: và
Do đó
.
Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.
a) Tìm tọa độ của các vectơ và .
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ và cùng phương.
c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để vectơ và cùng phương.
d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ theo các vectơ và .
Lời giải
a) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5) ta có: và .
b) Xét hai vectơ và :
Ta có: nên hai vectơ và cùng phương.
Vậy hai vectơ và cùng phương.
c) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và E(a; 1) ta có: và
Hai vectơ và cùng phương khi và chỉ khi
(‒ 4).(a – 3) = (‒3). (‒2)
‒ 4a + 12 = 6
4a = 6
Vậy thì hai vectơ và cùng phương.
d) Với
Với A(1; 2) và
Ta có: và
Tồn tại hai số thực m và n thỏa mãn:
Vậy .
Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vectơ Chứng minh rằng (hay còn được viết là ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ .
Lời giải
Ta thấy nên là vectơ cùng hướng với vectơ
Độ dài của vectơ là:
Vậy vectơ (hay còn được viết là ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ .
Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ với và . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị . Chứng minh rằng:
a) Vectơ có tọa độ là
b)
Lời giải
Lời giải
Ta mô tả bài toán bằng hình vẽ trên, trong đó:
là hướng đông, là hướng nam, là hướng tây, là hướng bắc;
biểu diễn vectơ vận tốc của dòng nước và ;
là hướng S15°E biểu diễn vectơ vận tốc chuyển động của ca nô tạo với một góc 15° và ;
Lấy điểm C sao cho OABC là hình bình hành. Khi đó biểu diễn vectơ vận tốc riêng của ca nô.
Vì tạo với một góc 15° nên tạo với một góc là 90° ‒ 15° = 75° tức là
Xét tam giác OAB có: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos
AB2 = 32 + 202 – 2.3.20.cos75°
AB ≈ 19,44
Vì OABC là hình bình hành nên OC = AB ≈ 19,44 (tính chất hình bình hành)
Suy ra (km/h)
Vậy vận tốc riêng của ca nô khoảng 19,44 km/h.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ
Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto
Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán