Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=45°.$

B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=a^2.$

C. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=a^2\sqrt{2}.$       

D. $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=-a^2.$

Trả lời

ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a;

Và $BD=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$ 

Lấy điểm M và N sao cho ABDM, ABNC là các hình bình hành.

+) Vì ABDM là hình bình hành nên $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM}\right)=\widehat{BAM}=90°+45°=135°.$ 

Do đó A sai.

+) Vì ABNC là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BN}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BN},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBN}=45°$

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC}=AC.BC.cos\widehat{CBF}=a\sqrt{2}.a.c{\text{os45}}^0=a^2.$

Do đó B đúng.

+) Ta có $AC\perp BD\Rightarrow \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

Do đó C sai.

+) Ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}=BA.BD.\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BD}\right) \\ =BA.BD.\cos \widehat{ABD}=a.a\sqrt{2}.c{\text{os45}}^0=a^2. \end{gathered}$$ 

Do đó D sai.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 14: Các số đặc trưng. Đo độ phân tán