Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài 3: Nhị thức Newton

Giải Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton

Hoạt động khởi động trang 33 Toán lớp 10 Tập 2: Ở Trung học cơ sở, ta quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển của biểu thức (a + b)ⁿ sẽ như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Với n = 4, ta có:

(a + b)⁴ = [(a + b)²]² = [a² + 2ab + b²]² = [(a² + b²) + 2ab]²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2(a² + b²).2ab + 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 2a³b + 2ab³ + 4a²b²

= a⁴ + 2a³b + 6a²b² + 2ab³ + b⁴.

(a + b)⁵ = (a + b)³(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:

(a + b)ⁿ = $C_n^0{a}^n.b^0+C_n^1{a}^{n-1}.b^1+C_n^2{a}^{n-2}.b^2+\mathrm{...}+C_n^n{a}^0.b^n$.

Hoạt động khám phá trang 33 Toán lớp 10 Tập 2: a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)⁴:

Tính giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$, rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)⁵. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a) Xét công thức khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a³; 3a²b; 3ab²; b³.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy $C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a³; 3a²b; 3ab²; b³ trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: $C_3^0=1$, $C_3^1=3$, $C_3^2=3$, $C_3^3=1$.

b) Ta có: (a + b)⁴ = (a + b)(a + b)³

= (a + b)(a³ + 3a²b + 3ab² + b³)

= a⁴ + 3a³b + 3a²b² + ab³ + a³b + 3a²b² + 3ab³ + b⁴

= a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Bằng cách sử dụng mát tính, giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ lần lượt là:

$C_4^0=1,C_4^1=4,C_4^2=6,C_4^3=4,C_4^4=1$.

Khi đó ta thấy $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ lần lượt bằng hệ số của các số hạng a⁴; 4a³b; 6a²b²; 4ab³; b⁴ trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$, ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)⁴ = $C_4^0$a⁴ + $C_4^1$a³b + $C_4^2$a²b² + $C_4^3$ab³ + $C_4^4$b⁴.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)⁵ = $C_5^0$a⁵b⁰ + $C_5^1$a⁴b¹ + $C_5^2$a³b² + $C_5^3$a²b³ + $C_5^4$ab⁴ + $C_5^5$b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)⁵ = (a + b)³.(a + b)² = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³)(a² + 2ab + b²)

= a⁵ + 2a⁴b + a³b² + 3a⁴b + 6a³b² + 3a²b³ + 3a³b² + 6a²b³ + 3ab⁴ + a²b³ + 2ab⁴ + b⁵

= a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)⁴;

b) (x + 2y)⁵.

Lời giải:

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:

(x – 2)⁴ = $C_4^0$x⁴ + $C_4^1$x³(-2) + $C_4^2$x²(-2)² + $C_4^3$x(-2)³ + $C_4^4$(-2)⁴

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Vậy (x – 2)⁴ = x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:

(x + 2y)⁵ = $C_5^0$x⁵(2y)⁰ + $C_5^1$x⁴(2y)¹ + $C_5^2$x³(2y)² + $C_5^3$x²(2y)³ + $C_5^4$x(2y)⁴ + $C_5^5$(2y)⁵

= x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

Vậy (x + 2y)⁵ = x⁵ + 10x⁴y + 40x³y² + 80x²y³ + 80xy⁴ + 32y.

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$;

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$.

Lời giải:

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$

Ta có: ${\left(1+2\right)}^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.2+C_4^2{.1}^2{.2}^2+C_4^3{.1}^3{.2}^3+C_4^4{\mathrm{.1.2}}^4$

⇔ $3^4=C_4^0+C_4^1.2+C_4^2{.2}^2+C_4^3{.2}^3+C_4^4{.2}^4$

⇔ $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$ (đpcm).

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$

Ta có:

(1 – 2)⁴ = $C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.(-2)+C_4^2{.1}^2.{(-2)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(-2\right)}^3+C_4^4.{(-2)}^4$

⇔(-1)⁴ = $C_4^0-C_4^1+C_4^2{.2}^2-C_4^3{.2}^3+C_4^4{.2}^4$

⇔1 = $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4$ (đpcm).

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Lời giải:

Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ (lựa chọn)

Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4=C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.1+C_4^2{.1}^2{.1}^2+C_4^3{.1}^3.1+C_4^4.1={\left(1+1\right)}^4=2^4=16$

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Bài tập

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)⁴;

b) ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$.

Lời giải:

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)⁴ = $C_4^0.{\left(3x\right)}^4+C_4^1.{\left(3x\right)}^3.y+C_4^2.{\left(3x\right)}^2.y^2+C_4^3.{\left(3x\right)}^1.y^3+C_4^4.y^4$

$=81x^4+108x^{3}y+54x^2{y}^2+12x{y}^3+y^4$.

Vậy (3x + y)⁴ $=81x^4+108x^{3}y+54x^2{y}^2+12x{y}^3+y^4$.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$

= $C_5^0$x⁵ + $C_5^1$x⁴.${\left(-\sqrt{2}\right)}^1$+ $C_5^2$x³${\left(-\sqrt{2}\right)}^2$ + $C_5^3$x²${\left(-\sqrt{2}\right)}^3$ + $C_5^4$x${\left(-\sqrt{2}\right)}^4$ + $C_5^5$${\left(-\sqrt{2}\right)}^5$

= x⁵ – $5\sqrt{2}$x⁴ + 20x³ – $20\sqrt{2}$x² + 20x – $4\sqrt{2}$.

Vậy ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$ = $C_5^0$x⁵ – $5\sqrt{2}$x⁴ + 20x³ – $20\sqrt{2}$x² + 20x – $4\sqrt{2}$.

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$;

b) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$;

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$.

Lời giải:

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$

= $C_4^0{2}^4+C_4^1{.2}^3\left(\sqrt{2}\right)+C_4^2{.2}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.2.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 + 32$\sqrt{2}$ + 48 + 16$\sqrt{2}$ + 4
$=68+48\sqrt{2}$.

Vậy ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4=68+48\sqrt{2}$.

b) Ta có:

${\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$

= $C_4^0{2}^4+C_4^1{.2}^3\left(-\sqrt{2}\right)+C_4^2{.2}^2{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.2.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(-\sqrt{2}\right)}^4$

= 16 – 32$\sqrt{2}$ + 48 – 16$\sqrt{2}$ + 4

$=68-48\sqrt{2}$.

Khi đó: ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4=68+48\sqrt{2}+68-40\sqrt{2}=136.$

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4\left(-\sqrt{3}\right)+C_5^2{.1}^3{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-\sqrt{3}\right)}^3+C_5^4{.1}^1{\left(-\sqrt{3}\right)}^4+C_5^5.{\left(-\sqrt{3}\right)}^5$

$=1-5\sqrt{3}+30-30\sqrt{3}+45-9\sqrt{3}$

$=76-44\sqrt{3}$.

Vậy ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5=76-44\sqrt{3}.$

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm hệ số của x³ trong khai triển (3x – 2)⁵.

Lời giải:

Ta có:

(3x – 2)⁵

=$C_5^0.{\left(3x\right)}^5+C_5^1.{\left(3x\right)}^4.\left(-2\right)+C_5^2.{\left(3x\right)}^3{\left(-2\right)}^2+C_5^3.{\left(3x\right)}^2.{\left(-2\right)}^3+C_5^4.{\left(3x\right)}^1{\left(-2\right)}^4+C_5^5.{\left(-2\right)}^5$

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)⁵ = 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x³ trong khai triển là 1 080.

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Chứng minh rằng $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$.

Lời giải:

Ta có: $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5$

$=C_5^0{.1}^5+C_5^1{.1}^4.{\left(-1\right)}^1+C_5^2{.1}^3.{\left(-1\right)}^2+C_5^3{.1}^2.{\left(-1\right)}^3+C_5^4{.1}^1.{\left(-1\right)}^4+C_5^5.{\left(-1\right)}^5$

= (1 – 1)⁵ = 0 (nhị thức Newton).

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10 Tập 2: Cho A = {a1; a2; a3; a4; a5} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Lời giải:

Tập con có 0 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập $\varnothing$.

Tập con có 1 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁}, {a₂}, {a₃}, {a₄}, {a₅}.

Tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂}, {a₁; a₃}, {a₁; a₄}, {a₁; a₅}, {a₂; a₃}, {a₂; a₄}, {a₂; a₅}, {a₃; a₄}, {a₃; a₅}, {a₄; a₅}.

Tập con có 3 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃}, {a₁; a₂; a₄}, {a₁; a₂; a₅}, {a₁; a₃; a₄}, {a₁; a₃; a₅}, {a₁; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄}, {a₂; a₃; a₅}, {a₂; a₄; a₅}, {a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 4 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a₁; a₂; a₃; a₄}, {a₁; a₂; a₄; a₅}, {a₁; a₂; a₃; a₅}, {a₁; a₃; a₄; a₅}, {a₂; a₃; a₄; a₅}.

Số tập con có 5 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập A = {a₁; a₂; a₃; a₄; a₅}.

Suy ra số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A là 5 + 10 + 1 = 16 tập, số tập hợp con có số chẵn (0; 4; 6) phần tử của A là 1 + 10 + 5 = 16 tập.

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ