Giải SBT Toán 8 (Cánh diều) Bài 3: Hình thang cân

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Bài 11 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác $ABCD$ có $\hat{C}=\hat{D}$ và $AD=BC$. Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình thang cân.

Lời giải:

Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$

Do $\hat{C}=\hat{D}$ nên tam giác $ICD$ cân tại $I$. Suy ra $ID=IC$

Mà $AD=BC$, suy ra $IA=IB$. Do đó, tam giác $IAB$ cân tại $I$.

Vì hai tam giác $IAB$ và $ICD$ đều cân tại $I$ nên

$\widehat{IAB}=\hat{D}$ (cùng bằng $\frac{{180}^{\circ }-\hat{I}}{2}$)

Mà $\widehat{IAB}$ và $\hat{D}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $AB//CD$

Tứ giác $ABCD$ có $AB//CD$ và $\hat{C}=\hat{D}$ nên $ABCD$ là hình thang cân.

Bài 12 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,AB<CD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$, hai cạnh bên $AD$ và $BC$ kéo dài cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $PQ$ là đường trung trực của hai đáy hình thang cân $ABCD$.

Lời giải:

$\mathrm{\Delta }ACD=\mathrm{\Delta }BDC$ (c.g.c). Suy ra $\widehat{PCD}=\widehat{PDC}$

Do đó, tam giác $PCD$ cân tại $P$. Suy ra $PC=PD$

Mà $AC=BD$, suy ra $PA=PB$

Do $AB//CD$ nên $\widehat{QAB}=\widehat{ADC};\widehat{QBA}=\widehat{BCD}$ (các cặp góc đồng vị)

Mặt khác, $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ nên $\widehat{QAB}=\widehat{QBA}$

Do đó, tam giác $QAB$ cân tại $Q$. Suy ra $QA=QB$

Mà $AD=BC$, suy ra $QD=QC$

Ta có: $PA=PB,PC=PD$ và $QA=QB,QC=QD$ nên $PQ$ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$.

Bài 13 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,AB=3mc,CD=6cm,AD=2.5cm$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên đường thẳng $CD$. Tính độ dài các đoạn thẳng $DM,DN,AM$.

Lời giải:

$\mathrm{\Delta }ADM=\mathrm{\Delta }BCN$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $AM=BN;DM=CN$

$\mathrm{\Delta }ABN=\mathrm{\Delta }NMA$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $AB=NM$. Do đó, $NM=3cm$

Ta có: $DM+NM+CN=CD$ và $DM=CN$ nên $2DM+3=6$

Suy ra $DM=1,5$

Mà $DN=DM+NM$, suy ra $DN=4,5cm$

Trong tam giác $ADM$ vuông tại $M$, ta có: $A{D}^2=A{M}^2+D{M}^2$

Suy ra $A{M}^2=A{D}^2-D{M}^2=4$. Vậy $AM=\sqrt{4}=2\left(cm\right)$.

Bài 14 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $M,N$ lần lượt trên cạnh $AB,AC$ sao cho $AM=AN$.

a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân

b) Xác định vị trí các điểm $M,N$ để $BM=MN=NC$.

Lời giải:

a) Vì hai tam giác $AMN$ và $ABC$ đều cân tại $A$ nên

$\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$ (cùng bằng $\frac{{180}^{\circ }-\hat{A}}{2}$)

Mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{ABC}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $MN//BC$.

Tứ giác $BMNC$ có $MN//BC$ và $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ nên $BMNC$ là hình thang cân.

b) Do $BM=MN$ nên tam giác $MBN$ cân tại $M$. Suy ra $\widehat{MNB}=\widehat{MBN}$. Mà $\widehat{MNB}=\widehat{NBC}$ (hai góc so le trong), suy ra $\widehat{MBN}=\widehat{NBC}$. Do đó, $BN$ là tia phân giác của góc $ABC$.

Chứng minh tương tự ta được $CM$ là tia phân giác của góc $ACB$.

Dễ thấy, nếu các điểm $M,N$ được xác định sao cho $BM,CN$ lần lượt là tia phân giác của góc $ABC,ACB$ thì $BN=MN=CN$.

Vậy $M$ là giao điểm của $AB$ và tia phân giác của góc $ACB,N$ là giao điểm của $AC$ và tia phân giác của góc $ABC$ thì $BN=MN=CN$.

Bài 15 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh là 6 cm. trên tia $BA,CA$ lần lượt lấy điểm $D,E$ sao cho $AD=AE=2cm$ (Hình 12)

a) Tứ giác $BCDE$ là hình gì? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng $CD$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimet).

Lời giải:

a) Tam giác đều $ABC$ có $AB=BC=AC=6cm$; $\widehat{BAC}=\widehat{CBA}=\widehat{ACB}={60}^{\circ }$

Ta có: $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat{DAE}={60}^{\circ }$

Tam giác $ADE$ có $AD=AE$ và $\widehat{DAE}={60}^{\circ }$ nên $ADE$ là tam giác đều. Suy ra $\widehat{ADE}={60}^{\circ }$. Do đó $\widehat{CBA}=\widehat{ADE}$ (vì cùng bằng ${60}^{\circ }$). Mà $\widehat{CBA}$ và $\widehat{ADE}$ nằm ở vị trí so le trong, suy ra $BC//DE$.

Ta có: $AB=AC$ và $AD=AE$ nên $BD=CE$.

Tứ giác $BCDE$ có $BC//DE$ và $BD=CE$ nên $BCDE$ là hình thang cân.

b) Kẻ $DH$ vuông góc với $CE$ tại $H$.

$\mathrm{\Delta }ADH=\mathrm{\Delta }EDH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $AH=EH=\frac{AE}{2}=1cm$

Trong tam giác $ADH$ vuông tại $H$, ta có: $C{D}^2=C{H}^2+D{H}^2$. Suy ra $C{D}^2=52$

Vậy $CD=\sqrt{52}\approx 7,2\left(cm\right)$.

Xem thêm Lời giải bài tập Toán 8 sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Định lí Pythagore

Bài 2: Tứ giác

Bài 4: Hình bình hành

Bài 5: Hình chữ nhật

Bài 6: Hình thoi