Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 48 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là:
A. x=π2+k2π (k∈ℤ) .
B. x=π2+kπ(k∈ℤ) .
C. x=π+k2π(k∈ℤ) .
D. x=k2π (k∈ℤ) .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có: sin x = 1 ⇔x=π2+k2π (k∈ℤ) .
Bài 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3.
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π) nên số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.
Bài 50 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cosx=−12 có các nghiệm là:
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có: cosx=−12⇔cosx=cos2π3
A. 0 ≤ m < 1.
B. 0 ≤ m ≤ 1.
C. 0 < m ≤ 1.
D. 0 < m < 1.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Xét đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = m.
Trên khoảng (−π2; π2) đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = cos x khi m ∈ (0; 1].
Do đó, Giá trị của m để phương trình cos x = m có nghiệm trên khoảng (-π/2;π/2) là (−π2; π2) là 0 < m ≤ 1.
Bài 52 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình tan x = − 1 có các nghiệm là:
A. x=π4+k2π (k∈ℤ) .
B. x=−π4+kπ (k∈ℤ) .
C. x=π2+k2π (k∈ℤ) .
D. x=−π4+k2π (k∈ℤ) .
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có tan x = − 1 ⇔x=−π4+kπ (k∈ℤ) .
Bài 53 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cot x = 0 có các nghiệm là:
A. x=π4+kπ (k∈ℤ) .
B. x=π2+k2π (k∈ℤ) .
C. x=kπ (k∈ℤ) .
D. x=π2+kπ (k∈ℤ) .
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có cot x = 0 ⇔x=π2+kπ (k∈ℤ) .
Bài 54 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin x – cos x = 0 có các nghiệm là:
A. x=π4+kπ (k∈ℤ) .
B. x=−π4+kπ (k∈ℤ) .
C. x=π4+k2π (k∈ℤ) .
D. x=−π4+k2π (k∈ℤ) .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (*)
Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin2 x + cos2 x = 1 nên (*) tương đương với tan x = 1, tức là x=π4+kπ (k∈ℤ) .
Bài 55 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình √3cosx+3sinx=0 có các nghiệm là:
A. x=−π6+kπ (k∈ℤ) .
B. x=π3+kπ (k∈ℤ) .
C. x=−π3+kπ (k∈ℤ) .
D. x=π6+kπ (k∈ℤ) .
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có √3cosx+3sinx=0
⇔√3(cosx+√3sinx)=0
⇔cosx+√3sinx=0
⇔12cosx+√32sinx=0
⇔cosπ3cosx+sinπ3sinx=0
⇔cos(π3−x)=0
⇔π3−x=π2+kπ (k∈ℤ)
⇔x=−π6+kπ (k∈ℤ).
Bài 56 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình cos2x=cos(x+π4) có các nghiệm là:
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có cos2x=cos(x+π4)
Bài 57 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình sin 3x = cos x có các nghiệm là:
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có sin 3x = cos x
⇔sin3x=sin(π2−x)
Bài 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:
a) sin3x=√32 ;
b) sin(x2+π4)=−√22 ;
c) cos(3x+π3)=−12 ;
d) 2cosx+√3=0 ;
e) √3tanx−1=0 ;
g) cot(x+π5)=1 .
Lời giải:
a) Do sinπ3=√32 nên sin3x=√32⇔sin3x=sinπ3
b) Do sin(−π4)=−√22 nên sin(x2+π4)=−√22 ⇔sin(x2+π4)=sin(−π4)
c) Do cos2π3=−12 nên cos(3x+π3)=−12 ⇔cos(3x+π3)=cos2π3
d) 2cosx+√3=0
⇔cosx=−√32
⇔cosx=cos5π6 (do cos5π6=−√32 )
⇔x=±5π6+k2π (k∈ℤ).
e) √3tanx−1=0
⇔tanx=1√3
⇔tanx=tanπ6 (do tanπ6=1√3 )
⇔x=π6+kπ (k∈ℤ).
g) Do cotπ4=1 nên cot(x+π5)=1 ⇔cot(x+π5)=cotπ4
⇔x+π5=π4+kπ (k∈ℤ)
⇔x=π20+kπ (k∈ℤ).
Bài 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm góc lượng giác x sao cho:
a) sin 2x = sin 42°;
b) sin(x – 60°) = −√32 ;
c) cos(x + 50°) = 12 ;
d) cos 2x = cos (3x + 10°);
e) tan x = tan 25°;
f) cot x = cot (– 32°).
Lời giải:
a) sin 2x = sin 42°
b) Do sin(−60° nên sin(x – 60°) = ⇔ sin(x – 60°) = sin(– 60°)
c) Do nên cos(x + 50°) = ⇔ cos(x + 50°) = cos 60°
d) cos 2x = cos (3x + 10°)
e) tan x = tan 25°
⇔ x = 25° + k180° (k ∈ ℤ).
f) cot x = cot (– 32°)
⇔ x = – 32° + k180° (k ∈ ℤ).
Bài 60 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) cos x + sin x = 0;
g) sin x – cos x = 0.
Lời giải:
a)
b)
c)
(Sử dụng công thức hạ bậc)
.
d)
(sử dụng công thức hạ bậc)
(sử dụng quan hệ hơn kém π)
e) cos x + sin x = 0
⇔ cos x = – sin x
⇔ tan x = – 1
.
g) sin x – cos x = 0
.
a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π];
b) cos x + 1 = 0 trên khoảng (– 4π; 0).
Lời giải:
a) Ta có 5sin x – 3 = 0 .
Do đó, số nghiệm của phương trình 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng .
Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [– π; 4π].
b) Ta có cos x + 1 = 0 .
Do đó, số nghiệm của phương trình cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng .
Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.
Vậy phương trình cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0).
a) Tìm m, a.
b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.
Lời giải:
a) Ta có .
Vì với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên .
Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi và thấp nhất bằng m – a khi .
Theo giả thiết, ta có:
Vậy m = 13 và a = 3.
b) Từ câu a) ta có công thức .
Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên
Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.
Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.
Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác