Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: ∆1: và ∆2: 6x + 2y = 0

Bài 7.7 trang 41 Toán 10 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: 

a) ∆₁: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$và ∆₂: 6x + 2y $-\sqrt{6}$= 0. 

b) d₁: x $-\sqrt{3}y$+ 2 = 0 và d₂: $\sqrt{3}x$– 3y + 2 = 0. 

c) m₁: x – 2y + 1 = 0 và m₂: 3x + y – 2 = 0. 

Trả lời

a) Đường thẳng ∆₁: $3\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(3\sqrt{2};\sqrt{2}\right)$. 

Đường thẳng ∆₂: 6x + 2y$-\sqrt{6}$ = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(6;2\right)$. 

Ta có: ${\overrightarrow{n}}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}{\overrightarrow{n}}_2$ nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương, do đó hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song hoặc trùng nhau. 

Mặt khác, điểm A$\left(0;\frac{\sqrt{6}}{2}\right)$ vừa thuộc ∆₁ vừa thuộc ∆₂. 

Vậy hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ trùng nhau. 

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁: x$-\sqrt{3}y$ + 2 = 0 là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-\sqrt{3}\right)$ và của d₂: $\sqrt{3}$x – 3y + 2 = 0 là $\overrightarrow{n_2}=\left(\sqrt{3};-3\right)$. 

Ta có: $\overrightarrow{n_2}=\sqrt{3}\overrightarrow{n_1}$ nên hai vectơ ${\overrightarrow{n}}_1$ và ${\overrightarrow{n}}_2$ cùng phương, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau. 

Mặt khác, điểm B(– 2; 0) thuộc d₁ nhưng không thuộc d₂. 

Vậy hai đường thẳng d₁ và d₂ song song với nhau.

c) Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y+1=0\\ 3x+y-2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x-6y+3=0\left(1\right)\\ 3x+y-2=0\left(2\right)\end{array}\right.$.

Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1) ta được: 7y – 5 = 0 $\iff y=\frac{5}{7}$.

Thay vào (1) ta được: $3x-6.\frac{5}{7}+3=0\iff x=\frac{3}{7}$. 

Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất $\left(\frac{3}{7};\frac{5}{7}\right)$. 

Vậy hai đường thẳng m₁ và m₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left(\frac{3}{7};\frac{5}{7}\right)$.