Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài

Vận dụng trang 41 Toán 10 Tập 2: Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11). 

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. 

b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không ? 

Trả lời

a) Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau: 

Vì B trùng với gốc tọa độ O nên B có tọa độ là (0; 0). 

Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD = AB = 12 m, BC = AD = 15 m. 

Điểm A thuộc trục Oy và có AO = AB = 12 m nên A có tọa độ là (0; 12). 

Điểm C thuộc trục Ox và có CO = CB = 15 m nên C có tọa độ là (15; 0). 

Ta có: DC ⊥ Ox (do DC ⊥ BC), DA ⊥ Oy (do DA ⊥ AB) và DC = 12 m, DA = 15 m nên điểm D có tọa độ là (15; 12). 

Từ E kẻ EH vuông góc với BC, H thuộc BC nên EH = AB = 12 m, lại có AE = 5 m, do đó điểm E có tọa độ là (5; 12).

Từ F kẻ FJ vuông góc với AB, J thuộc AB nên FJ = AD = 15 m, lại có CF = 6 m, do đó điểm F có tọa độ là (15; 6). 

Vậy A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6). 

Ta có: $\overrightarrow{EF}=\left(15-5;6-12\right)=\left(10;-6\right)$. 

Chọn vectơ $\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}=\left(5;-3\right)$ làm vectơ chỉ phương của đường thẳng EF thì vectơ pháp tuyến của đường thẳng EF là $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$. 

Đường thẳng EF đi qua điểm E(5; 12) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;5\right)$, do đó phương trình đường thẳng EF là: 3(x – 5) + 5(y – 12) = 0 hay 3x + 5y – 75 = 0. 

b) Áp dụng công thức tính khoảng cách, ta có khoảng cách từ B đến EF là: 

$d\left(B,EF\right)=\frac{\left|3.0+5.0-75\right|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{75}{\sqrt{34}}$≈ 12,9 m. 

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưỡi câu có thể quăng xa 10,7 m và 10,7 m < 12,9 m nên lưỡi câu không thể rơi vào vị trí nuôi vịt.