Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1

Bài 7.11 trang 41 Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng hai đường thẳng d: y = ax + b (a ≠ 0) và d': y = a'x + b' (a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' = – 1. 

Trả lời

Ta có: y = ax + b ⇔ ax – y + b = 0 hay d: ax – y + b = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=\left(a;-1\right)$. 

Lại có: y = a'x + b' ⇔ a'x – y + b' = 0 hay d': a'x – y + b' = 0 nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(a\text{'};-1\right)$. 

Hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau khi $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n^{\text{'}}}\iff \overrightarrow{n}.\overrightarrow{n^{\text{'}}}=0\iff a.a\text{'}+\left(-1\right).\left(-1\right)=0$ 

$\iff a.a\text{'}+1=0\iff a.a\text{'}=-1$. 

Vậy d ⊥ d' ⇔ aa' = – 1.