Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0. Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành
413
11/04/2023
Luyện tập 4 trang 39 Toán 10 Tập 2: Cho đường thẳng ∆: y = ax + b với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng ∆ cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆0 đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với ∆.
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa α∆ và α∆0.
d) Gọi M là giao điểm của ∆0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanα∆ = a.

Trả lời
a) Phương trình trục hoành Ox: y = 0.
Xét hệ {y=0y=ax+b.
Khi đó ta có: ax + b = 0 ⇔ x = −ba(do a ≠ 0).
Do đó hệ trên có nghiệm duy nhất (−ba; 0) nên ∆ và trục hoành cắt nhau tại giao điểm có tọa độ (−ba; 0).
b) Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là →n=(a; −1).
Do đường thẳng ∆0 song song hoặc trùng với ∆ nên ta chọn vectơ →n là một vectơ pháp tuyến của ∆0.
Đường thẳng ∆0 đi qua điểm O(0; 0) và nhận →n=(a; −1) làm vectơ pháp tuyến.
Khi đó phương trình đường thẳng ∆0 là: a(x – 0) – (y – 0) = 0 hay ax – y = 0 hay y = ax.
c) Khi ∆ và ∆0 trùng nhau thì α∆ và α∆0 trùng nhau nên α∆ = α∆0.
Khi ∆ và ∆0 song song thì α∆ = α∆0 (do hai góc ở vị trí đồng vị).
Vậy α∆ = α∆0.
d) Vì M thuộc đường thẳng ∆0 nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng ∆0 nên khi có hoành độ x0 thì tung độ của M là y0 = ax0.
Ta có tanα∆0 = tan∠xOM = y0x0=ax0x0=a (theo định nghĩa giá trị lượng giác)
Do α∆ = α∆0 nên tanα∆ = tanα∆0 = a.
Vậy tanα∆ = a.