Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0)

Bài 7.12 trang 41 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh. 

Trả lời

Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi. 

Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB. 

Ta có: $\overrightarrow{HO}=\left(-a;-b\right)$, $\overrightarrow{HA}=\left(1-a;-b\right)$, $\overrightarrow{HC}=\left(1-a;3-b\right)$. 

Do đó: $HO=\sqrt{{\left(-a\right)}^2+\left(-b^2\right)}=\sqrt{a^2+b^2}$, $HA=\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b^2}$, $HC=\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(3-b\right)}^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$. 

Vì HO = HA nên $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b^2}$ $\Rightarrow a^2+b^2={\left(a-1\right)}^2+b^2$

⇔ a² = a² – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = $\frac{1}{2}$. 

Vì HA = HB nên $\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+b^2}=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$

$\Rightarrow {\left(a-1\right)}^2+b^2={\left(a-1\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2$

⇔ b² = b² – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = $\frac{3}{2}$. 

Thay a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{3}{2}$ vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn. 

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.