Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M
410
11/04/2023
HĐ4 trang 40 Toán 10 Tập 2: Cho điểm M(x0; y0) và đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 có vectơ pháp tuyến →n(a; b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ (H.7.9).
a) Chứng minh rằng |→n.→HM|=√a2+b2.HM.
b) Giả sử H có tọa độ (x1; y1). Chứng minh rằng: →n.→HM= a(x0 – x1) + b(y0 – y1) = ax0 + by0 + c.
c) Chứng minh rằng HM=|ax0+by0+c|√a2+b2.

Trả lời
a) Do H là hình chiếu của M lên ∆ nên MH ⊥ ∆.
Vectơ →n là vectơ pháp tuyến của ∆ nên giá của vectơ →n vuông góc với ∆.
Khi đó đường thẳng MH song song hoặc trùng với giá của vectơ →n nên hai vectơ →HM và →ncùng phương.
Do đó hai vectơ →HM và →n cùng hướng hoặc ngược hướng.
+) Nếu hai vectơ →HM và →n cùng hướng thì →n.→HM=|→n|.|→HM|=√a2+b2.HM.
+) Nếu hai vectơ →HM và →n ngược hướng thì →n.→HM=−|→n|.|→HM|=−√a2+b2.HM.
Vậy |→n.→HM|=√a2+b2.HM.
b) Vì H thuộc ∆ nên tọa độ của H thỏa mãn phương trình ∆, thay tọa độ của H vào phương trình ∆ ta được: ax1 + by1 + c = 0 ⇔ c = – ax1 – by1 (1).
Ta lại có: →HM=(x0−x1;y0−y1).
Suy ra: →n.→HM=a(x0−x1)+b(y0−y1) = ax0 + by0 – ax1 – by1 (2).
Từ (1) và (2) suy ra : →n.→HM=a(x0−x1)+b(y0−y1) = ax0 + by0 + c.
c) Theo câu a) ta có: |→n.→HM|=√a2+b2.HM.
Theo câu b) ta có: →n.→HM = ax0 + by0 + c.
Suy ra: |ax0 + by0 + c| = √a2+b2.HM.
Vậy HM=|ax0+by0+c|√a2+b2.