Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a) y = sin3x/x b) y = -5x^2 + cosx/2

Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sin 3x}{x};$

b) $y=-5x^2+c\text{os}\frac{x}{2};$

c) $y=x\sqrt{1+\cos 2x};$

d) $y=\cot x-\frac{2}{\mathrm{s}\text{inx}};$

e) $y=\left|x\right|+\tan x;$

f) $y=\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right).$

Trả lời

a) Tập xác định của hàm số $y=\frac{\text{sin}3x}{x}$ là $D=ℝ\setminus \left(0\right)$ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $\frac{\text{sin}\left(3\left(-x\right)\right)}{-x}=\frac{\text{sin}\left(-3x\right)}{-x}=\frac{-\text{sin}3x}{-x}=\frac{\text{sin}3x}{x}.$

Vậy hàm số $y=\frac{\text{sin}3x}{x}$ là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số $y=-5x^2+\text{cos}\frac{x}{2}$ là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $-5{(-x)}^2+\text{cos}\left(\frac{-x}{2}\right)=-5x^2+\text{cos}\frac{x}{2}.$

Vậy hàm số $y=-5x^2+\text{cos}\frac{x}{2}$ là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số $y=x\sqrt{1+\text{cos}2x}$ là D = ℝ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $\left(-x\right)\sqrt{1+\text{cos}\left(-2x\right)}=-x\sqrt{1+\text{cos}2x}.$

Vậy hàm số $y=x\sqrt{1+\text{cos}2x}$ là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y=\text{cot}x-\frac{2}{\text{sin}x}$ là $D=ℝ\setminus \left(k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Ta có $\text{cot}\left(-x\right)-\frac{2}{\text{sin}\left(-x\right)}=-\text{cot}x+\frac{2}{\text{sin}x}=-\left(\text{cot}x-\frac{2}{\text{sin}x}\right)$.

Vậy hàm số $y=\text{cot}x-\frac{2}{\text{sin}x}$ là hàm số lẻ.

e) Tập xác định của hàm số $y=\left(x\right)+\text{tan}x$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$ thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D.

Đặt $f\left(x\right)=\left(x\right)+\text{tan}x$. Xét hai giá trị $\frac{\pi }{4}$ và -$\frac{\pi }{4}$ thuộc D, ta có:

$$\begin{gathered} f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\left(\frac{\pi }{4}\right)+\text{tan}\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+1 \\ \text{và }f\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\left(-\frac{\pi }{4}\right)+\text{tan}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\pi }{4}-1. \end{gathered}$$

Do $f\left(-\frac{\pi }{4}\right)\ne f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ và $f\left(-\frac{\pi }{4}\right)\ne -f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ nên $y=\left(x\right)+\text{tan}x$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

g) Tập xác định của hàm số $y=\text{tan}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ là $D=ℝ\setminus \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right)$ không thoả mãn điều kiện ‒x ∈ D với mọi x ∈ D vì $-\frac{\pi }{4}\in D$ mà $\frac{\pi }{4}\notin D$.

Vậy hàm số $y=\text{tan}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số