Xét khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông cân tại A,  SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC) bằng 3. Gọi $\alpha$   là góc giữa hai mặt phẳng ( SBC) và ( ABC), giá trị $\cos \alpha$  khi thể tích khối chóp SABC nhỏ nhất là

Lời giải:

Đặt $SA=h,AB=AC=a$ . Ta có .

$d\left(A;\left(SBC\right)\right)=AH=3;\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}\iff \frac{1}{9}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{h^2}\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^4{h}^2}}\Rightarrow a^{2}h\ge 6$.

$\widehat{\left(\left(SBC\right),\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SMA}=\alpha$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{6}{a}^{2}h\ge 1$. Thể tích nhỏ nhất bằng 1 khi $a=h\Rightarrow SM=a\sqrt{\frac{3}{2}}\Rightarrow c\text{os}\alpha =\frac{AM}{SM}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$   .

Chọn đáp án C.