Cho hàm số y= 2x-1/ x+1 có đồ thị (C) và đường thẳng d: y= -x+m  Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A. 10

B. 26

C. 25

D. 16

Trả lời

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2\text{x}-1}{x+1}=-x+m$, đk $x\ne -1$

$\iff 2\text{x}-1=\left(-x+m\right)\left(x+1\right)$

$\iff {\text{x}}^2+\left(3-m\right)x-1-m=0\left(1\right)$ 

Để d cắt (C)  tại hai điểm phân biệt A, Bkhi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt, $x\ne -1$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(3-m\right)}^2+4m+4>0\\ 1-3+m-1-m\ne 0\end{array}\right.$ $\iff m^2-2m+13>0$, đúng $\forall m$

Gọi $A\left(x_1;y_1\right)$, $B\left(x_2;y_2\right)$ là hai giao điểm của d và (C)

Suy ra $A\left(x_1;-x_1+m\right)$, $B\left(x_2;-x_2+m\right)$

Theo viet ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m-3\\ x_1.x_2=-1-m\end{array}\right.$ 

$AB=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(x_1-x_2\right)}^2}$$=\sqrt{2{\left(m-3\right)}^2+8+8m}$

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left(\frac{m-3}{2};\frac{m+3}{2}\right)$

$\overrightarrow{PI}=\left(\frac{m-7}{2};\frac{m-7}{2}\right)$

Mặc khác $PI=d\left(I;\left(d\right)\right)=\frac{\left|5+2-m\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|7-m\right|}{\sqrt{2}}$

Đề tam giác $\Delta PAB\iff PI=AB.\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \frac{\left|7-m\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2m^2-4m+26}.\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

$\iff 2{\left(7-m\right)}^2=3\left(2m^2-4m+26\right)\iff 4m^2+16m-20=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.\Rightarrow {m_1}^2+{m_2}^2=26$

Chọn đáp án B