Chọn đáp án       A.

Do hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và $\left(SBD\right)$cùng vuông góc với mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ nên $SB\perp \left(ABCD\right)$.

Gọi Q là giao điểm của $BC,AD$. Gọi F là trung điểm AD.

Kẻ $BM\perp AD,BI\perp SM$. Dễ thấy $BI\perp mp\left(SAD\right)$

Ta có$\frac{d\left(E,\left(SAD\right)\right)}{d\left(B,\left(SAD\right)\right)}=\frac{EQ}{BQ}=\frac{EF}{BA}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow d\left(E,\left(SAD\right)\right)=\frac{EF}{BA}.BI=\frac{\left(\frac{a+4a}{2}\right)}{4a}.BI\\ \Rightarrow BI=\frac{8}{5}d\left(E,\left(SAD\right)\right)=\frac{8}{5}\frac{5a\sqrt{26}}{52}=\frac{8a\sqrt{26}}{52}\end{array}$

Xét tam giác vuông BAQ có$\frac{1}{B{M}^2}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{Q}^2}=\frac{1}{{\left(4a\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{4a}{3}\right)}^2}=\frac{5}{8a^2}$.

Xét tam giác vuông SBM  có $\frac{1}{S{B}^2}=\frac{1}{B{I}^2}-\frac{1}{B{M}^2}=\frac{1}{{\left(\frac{8a\sqrt{26}}{52}\right)}^2}-\frac{5}{8a^2}=\frac{1}{a^2}$

$\Rightarrow SB=a$.

Vậy $V=\frac{1}{3}SB.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.\frac{\left(4a+a\right)a}{2}=\frac{5a^3}{6}$