Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\left(x^2+x+m\right)}^2$trên đoạn $\left[-2;2\right]$ bằng 4. Tính tổng các phần tử của S.

Vì $\underset{\left[-2;2\right]}{\min y}=4$ nên ${\left(x^2+x+m\right)}^2\ge 4\iff \left[\begin{array}{c}{x}^2+x+m\ge 2\\ x^2+x+m\le -2\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{c}m\ge -x^2-x+2=f\left(x\right)\\ m\le -x^2-x-2=g\left(x\right)\end{array}\right.,\forall x\in \left[-2;2\right].$

+) Xét $f\left(x\right)=-x^2-x+2,\forall x\in \left[-2;2\right]$.

$f\text{'}\left(x\right)=-2x-1;f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=-\frac{1}{2}$

BBT

Từ BBT suy ra $m\ge \frac{9}{4}$. $\underset{\left[-2;2\right]}{\min y}=4\iff m=\frac{9}{4}.$

+) Xét $g\left(x\right)=-x^2-x-2,\forall x\in \left[-2;2\right].$

$g\text{'}\left(x\right)=-2x-1;g\text{'}\left(x\right)=0\iff x=-\frac{1}{2}$

BBT

Từ BBT suy ra $m\le -8$. $\underset{\left[-2;2\right]}{\min y}=4\iff m=-8.$

Vậy $S=\left\{\frac{9}{4};-8\right\}$ Do đó $m_1+m_2=\frac{9}{4}-8=-\frac{23}{4}$.