Cho hình chóp SABCcó các cạnh AB=a, $AC=a\sqrt{3}$, $SB>2a$và góc $\angle ABC=\angle BAS=\angle BCS={90}^0$. Biết sin của góc giữa đường thẳng SBvà mặt phẳng $\left(SAC\right)$bằng $\frac{\sqrt{11}}{11}$. Tính thể tích khối chóp SABC

là góc $\angle BSJ$. Ta có $\sin \angle BSJ=\frac{BJ}{SB}=\frac{\sqrt{11}}{11}\iff \frac{B{J}^2}{S{B}^2}=\frac{1}{11}\iff \frac{B{J}^2}{h^2+3a^2}=\frac{1}{11}\Rightarrow B{J}^2=\frac{h^2+3a^2}{11}$.

Ta thấy $d(D,(SAC\left)\right)=d(B,(SAC\left)\right)\Rightarrow DK=BJ$. Do đó

$\frac{2a^2{h}^2}{2a^2+3h^2}=\frac{h^2+3a^2}{11}\iff \left(h^2+3a^2\right)\left(2a^2+3h^2\right)=22a^2{h}^2$

$\iff 3h^4-11a^2{h}^2+6a^4=0$$\iff h^2=3a^2$ hoặc $h^2=\frac{2}{3}{a}^2$.

Trong tam giác vuông SDB có $SB>2a$, $BD=a\sqrt{3}$ nên $SD>a$, hay h>a. Suy ra $h=a\sqrt{3}$.Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SD.S_{ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}\right)=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$.