Gọi A,B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+4$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng

Ta có $y^{\text{'}}=4x^3-4x$.

$y^{\text{'}}=0\iff 4x^3-4x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-1\end{array}\right.$và y' đổi dấu qua các nghiệm đó.

$\Rightarrow$ Hàm số có ba điểm cực trị tại $x=0;x=1;x=-1$.

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $A\left(0;4\right);B\left(1;3\right);C\left(-1;3\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(1;-1\right)\Rightarrow AB=\sqrt{2}$; $\overrightarrow{AC}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow AC=\sqrt{2}$; $\overrightarrow{BC}=\left(-2;0\right)\Rightarrow BC=2$.

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A.Gọi H là trung điểm của BC$\Rightarrow AH\perp BC$.

$\Rightarrow AH=\sqrt{A{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{2-1}=1$.

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=1$.

Mà $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+1$

Vì $S_{\Delta ABC}=pr\Rightarrow r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$.

Vậy $r=\sqrt{2}-1$.