Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét)

Bài 5 trang 54 Toán lớp 10 Tập 1: Xét hệ tọa độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng. 

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất? 

Trả lời

a) Chuyển động của quả bóng theo quỹ đạo parabol và với mỗi thời gian t ta có được duy nhất một chiều cao h tương ứng nên ta có h = at² + bt + c với a, b, c là các hệ số và a ≠ 0.

Quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: 0,2 = a.0² + b.0 + c ⇔ c = 0,2 (1)

Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây nên thay t = 1 và h = 8,5 vào hàm số ta được:

8,5 = a.1² + b.1 + c ⇔ a + b + c = 8,5 (2)

Quả bóng đạt độ cao 6 m sau 2 giây nên thay t = 2 và h = 6 vào hàm số ta được:

6 = a.2² + b.2 + c ⇔ 4a + 2b + c = 6 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+b+c=8,5\\ 4a+2b+c=6\\ c=0,2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a+b+0,2=8,5\\ 4a+2b+0,2=6\\ c=0,2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a+b=8,3\\ 4a+2b=5,8\\ c=0,2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=-5,4\\ b=13,7\\ c=0,2\end{array}\right. \end{gathered}$$  

⇒ h = -5,4t² + 13,7t + 0,2.

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là: h = – 5,4t² + 13,7t + 0,2.

b) Bóng chạm đất nếu khi độ cao h = 0, vậy bóng chưa chạm đất khi độ cao h > 0 hay – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

Xét tam thức bậc hai – 5,4t² + 13,7t + 0,2 có:

∆ = 13,7² – 4.(-5,4).0,2 = 192,01 > 0

Suy ra tam thức có hai nghiệm t₁ = $\frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}$, $t_2=\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$.

Ta lại có a = -5,4 < 0

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có – 5,4t² + 13,7t + 0,2 > 0

$\iff \frac{137}{108}-\frac{\sqrt{19201}}{108}<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$

Lại có: thời gian t > 0

Do đó: $0<t<\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}$  mà $\frac{137}{108}+\frac{\sqrt{19201}}{108}\approx 2,55$ hay 0 < t < 2,55.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác