Với n là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1 + C_n^2 = 10$, hệ số chứa x² trong khai triển của biểu thức ${\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$ bằng

Đáp án đúng là: D

Ta có $C_n^1 + C_n^2 = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10$

$\Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)...1}}{{(n - 1)...1}} + \frac{{n(n - 1)(n - 2)...1}}{{2(n - 2)...1}} = 10$

$\Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10$

$\Leftrightarrow$n² + n – 20 = 0$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - 5\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn bài toán.

Nhị thức ${\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a =x³, b = $\frac{2}{{{x^2}}}$ vào trong công thức ta có

$C_4^k$(x³)^{4 – k} .${\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k}$  = (2)^k$C_4^k$ (x)^{12 – 5k}

Số hạng cần tìm hệ số chứa x²  nên ta có 12 – 5k = 2

Do đó k = 2 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển là: (2)²$C_4^2$ = 24.