Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(x - y + 2 = 0\).
D. \(y = x - 2\)
Đáp án D
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right):\,y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
Cách giải:
Giả sử tiếp điểm là \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(x - y + 2 = 0\,\,\left( {hay\,\,y = x + 2} \right)\) nên \(y'\left( {{x_0}} \right) = 1\)
Ta có: \(y = \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1 \Rightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
+) \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = 1\left( {x - 0} \right) + 2 \Leftrightarrow y = x + 2\) (loại, do trùng với d)
+) \({x_0} = - 2 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = 1\left( {x - \left( { - 2} \right)} \right) + 4 \Leftrightarrow y = x + 6\) (thỏa mãn).