Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng

Bài 2 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

a) (C₁): 4x² + 16y² = 1;

b) (C₂): 16x² – 4y² = 144;

c) (C₃): x= $\frac{1}{8}$y².

Trả lời

a) Xét phương trình: 4x² + 16y² = 1

⇔ $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$

⇔ $\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=1$

Đây là phương trình chính tắc của elip với a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{1}{4}$.

Ta có: b² + c² = a²

⇔ c² = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$

⇔ c = $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Khi đó tọa độ các tiêu điểm của elip là F₁$\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và F₂$\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$.

Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho elip và có tọa độ các tiêu điểm lần lượt là F₁$\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và F₂$\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$.

b) Xét phương trình 16x² – 4y² = 144

⇔ $\frac{16x^2}{144}-\frac{4y^2}{144}=1$

⇔ $\frac{x^2}{\frac{144}{16}}-\frac{y^2}{\frac{144}{4}}=1$

⇔ $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$

Đây là phương trình chính tắc của hypebol với a = 3 và b = 6.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45

⇔ c = $3\sqrt{5}$

Khi đó tọa độ các tiêu điểm của hypebol là F₁$\left(3\sqrt{5};0\right)$ và F₂$\left(-3\sqrt{5};0\right)$.

Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho hypebol và có tọa độ các tiêu điểm lần lượt là F₁$\left(3\sqrt{5};0\right)$ và F₂$\left(-3\sqrt{5};0\right)$.

c) Ta có: x= $\frac{1}{8}$y²⇔ y² = 8x

Ta thấy phương trình (C₃) có dạng y² = 2px nên (C₃) là phương trình của parabol và p = 4.

⇒ Tọa độ tiêu điểm của (C₃) là F(2; 0).

Vậy parabol (C₃): x= $\frac{1}{8}$y² có tiêu điểm là F = (2; 0).

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố