Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình x^2/ 28^2 - y^2/42^2 =1 (Hình 17).

Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$(Hình 17). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng $\frac{2}{3}$ khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.

Trả lời

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, điểm O là tâm đối xứng của hypebol:

Gọi hai điểm A và B như hình vẽ.

Đặt khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy là h. Khi đó khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng là $\frac{2}{3}$h.

Theo đầu bài ta có: h + $\frac{2}{3}$h = 150

⇔ $\frac{5}{3}$h = 150

⇔ h = 150 : $\frac{5}{3}$

⇔ h = 90.

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm A đến trục hoành hay là tung độ của điểm A.

⇒ y_A = $\frac{2}{3}$h = $\frac{2}{3}$.90 = 60.

Vì A thuộc hypebol nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$

⇒ $\frac{x_A^2}{{28}^2}-\frac{y_A^2}{{42}^2}=1$

⇔ $\frac{x_A^2}{{28}^2}-\frac{{60}^2}{{42}^2}=1$

⇔ $\frac{x_A^2}{{28}^2}-\frac{100}{49}=1$

⇔ $\frac{x_A^2}{{28}^2}=\frac{149}{49}$

⇔ $x_A^2=2384$

⇔ $x_A=4\sqrt{149}$

⇒ $A\left(4\sqrt{149};60\right)$

Mặt khác điểm A thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ A đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng $4\sqrt{149}$.

Ta có khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol cũng chính là khoảng cách từ điểm B đến trục hoành hay là tung độ của điểm B.

⇒ y_B = -h = -90.

Vì B thuộc hypebol nên tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình $\frac{x^2}{{28}^2}-\frac{y^2}{{42}^2}=1$

⇒ $\frac{x_B^2}{{28}^2}-\frac{y_B^2}{{42}^2}=1$

⇔ $\frac{x_B^2}{{28}^2}-\frac{{\left(-90\right)}^2}{{42}^2}=1$

⇔ $\frac{x_B^2}{{28}^2}-\frac{225}{49}=1$

⇔ $\frac{x_B^2}{{28}^2}=\frac{274}{49}$

⇔ $x_B^2=4384$

⇔ $x_B=4\sqrt{274}$

⇒ $B\left(4\sqrt{274};90\right)$

Mặt khác điểm B thuộc đường tròn nóc nên khoảng cách từ B đến tâm đường tròn là bán kính của đường tròn và bằng $4\sqrt{274}$.

Vậy bán kính đường tròn nóc là $4\sqrt{149}$ và bán kính đường tròn đáy là $4\sqrt{274}$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 9

Bài 1: Không gian mẫu và biến cố

Bài 2: Xác suất của biến cố