Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$  độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h­_n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h_n).

b) Tính giới hạn của dãy số (h_n) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h_n).

c) Gọi S_n là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính S_n, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Trả lời

a) Theo đề bài ta có, $h_n=\frac{1}{4}{h}_{n-1}$  nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ = $\frac{1}{4}.100=25$  và công bội $q=\frac{1}{4}$ .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): $h_n=u_1{q}^{n-1}=25.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\frac{100}{4^n}$ .

b) Ta có: limh_n = $\lim \frac{100}{4^n}=\lim \left(100.\frac{1}{4^n}\right)=\lim 100.\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=100.0=0$ .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Ta có: $S_n=100+2\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^2}+\frac{100}{4^3}+\mathrm{...}+\frac{100}{4^n}\right)$ .

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi, tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là: $\lim S_n=100+2\left(\frac{100}{4}+\frac{100}{4^2}+\frac{100}{4^3}+\mathrm{...}+\frac{100}{4^n}+\mathrm{...}\right)$ .

Vì $\frac{100}{4};\frac{100}{4^2};\frac{100}{4^3};\mathrm{...};\frac{100}{4^n};\mathrm{...}$  lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=\frac{100}{4}$  và công bội $q=\frac{1}{4}<1$  nên ta có $\lim S_n=100+2.\frac{\frac{100}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{500}{3}$ .

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}$  m.

Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Hàm số liên tục

Bài tập cuối chương 3