Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.

a) Tính diện tích S_n của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.

Lời giải

a) Gọi S_n là diện tích của hình vuông thứ n.

Ta có: S₁ = 1; S₂ = $\frac{1}{2}$; S₃ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$; ...

Dãy (S_n) lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S₁ = 1 và công bội q = $\frac{1}{2}$ có công thức tổng quát là: Sn = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

b) Ta có: $\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1$ nên dãy (S_n­) trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có:

$S = 1 + \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + ... + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2$.

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).