Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Trả lời

Lời giải

Giả sử vận tốc của Asin gấp đôi vận tốc của chú rùa và khoảng cách lúc đầu là a.

Khi Asin chạy được a thì chú rùa chạy được \(\frac{a}{2}\).

Khi Asin chạy tiếp được \(\frac{a}{2}\) thì chú rùa chạy được \(\frac{a}{4}\).

Do đó tổng quãng đường Asin phải chạy để đuổi kịp chú rùa là:

\(a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + ...\)

Theo lập luận của Asin tổng này là tổng vô hạn nên không bao giờ Asin đuổi kịp chú rùa.

Tuy nhiên các số hạng của tổng này lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = a và công bội q = \(\frac{1}{2}\) < 1.

Nên ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn bằng:

\(S = a + \frac{a}{2} + \frac{a}{4} + \frac{a}{8} + ... = \lim \frac{{a\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2a\).

Vì vậy tổng này là hữu hạn do đó Asin hoàn toàn có thể chạy để đuổi kịp rùa.