a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n­), với \({u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}\).

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Lời giải

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n), với \({u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}\) là:

\(S = \lim \frac{{\frac{2}{3}\left[ {1 - {{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]}}{{1 - \left( { - \frac{1}{4}} \right)}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{5}{4}}} = \frac{8}{{15}}\).

b) Ta có:

1,(6) = 1 + 0,(6) = 1 + 0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ...

Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 0,6 và công bội q = \(\frac{1}{{10}}\) có |q| < 1 nên ta có:

0,6 + 0,06 + 0,006 + ... + 0,000006 + ... = \(\frac{{0,6}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra 1,(6) = 1 + \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{5}{3}\).