Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R.

C₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{2}$.

C₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{4}$, ...

C_n là đường gồm 2ⁿ nửa đường tròn đường kính $\frac{{AB}}{{{2^n}}},...$(Hình 4).

Gọi P_n là độ dài của C_n­, S_n là diện tích hình phẳng giới hạn bởi C_n và đoạn thẳng AB.

a) Tính p_n, S_n.

b) Tìm giới hạn của các dãy số (p_n) và (S_n).

Lời giải

a)

+) Ta có: p₁ = $\frac{{\pi R}}{2}$; p₂ = $\frac{{\pi R}}{4} = \frac{{\pi R}}{{{2^2}}}$; p₃ = $\frac{{\pi R}}{8} = \frac{{\pi R}}{{{2^3}}}$; ...

(p_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu p₁ = $\frac{{\pi R}}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2} < 1$ có số hạng tổng quát p_n = $\frac{{\pi R}}{2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$.

+) Ta có: C₁ = $\frac{{\pi {R^2}}}{4}$; C₂ = $\frac{{\pi {R^2}}}{{{4^2}}}$; C₃ = $\frac{{\pi {R^3}}}{{{4^3}}}$; ...

(C_n) lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu C₁ = $\frac{{\pi {R^2}}}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4} < 1$ có số hạng tổng quát C_n = $\frac{{\pi R}}{4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$.