Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình chính tắc của hypebol có một tiêu điểm

C. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$;

Trả lời

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$

(H) có một tiêu điểm $F_1\left(-\sqrt{10};0\right)$ suy ra $c=\sqrt{10}$ nên c² = 10.

Ta có c² = a² + b² nên b² = c² – a² = 10 – a².

Điểm $A\left(4;-\sqrt{2}\right)\in \left(H\right)$ nên ta có $\frac{16}{a^2}-\frac{2}{b^2}=1$ (*)

Thay b² = 10 – a² vào (*) ta được:

$\frac{16}{a^2}-\frac{2}{10-a^2}=1\iff 160-16a^2-2a^2=10a^2-a^4$

$\iff a^4-28a^2+160=0\iff \left[\begin{array}{l}{a}^2=20\\ a^2=8\end{array}\right..$

Với a² = 20 ta có b² = 10 – a² = 10 – 20 = –10 (loại).

Với a² = 8 ta có b² = 10 – a² = 10 – 8 = 2.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol $\left(H\right)$ là $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$.