Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$ Biết (H) có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm $M\left(\frac{4\sqrt{34}}{5};\frac{9}{5}\right)$ sao cho tam giác MF₁F₂ vuông tại M. Tích a.b bằng

A. a.b = 12;

B. a.b = 15;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $c=\sqrt{a^2+b^2}=O{F}_1=O{F}_2$ và $MO=\sqrt{{\left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right)}^2+{\left(\frac{9}{5}\right)}^2}=5$.

Mà tam giác MF₁F₂ vuông tại M có đường trung tuyến MO ứng với cạnh huyền F₁F₂ nên $MO=\frac{1}{2}{F}_1{F}_2$

Suy ra F₁F₂ = 2OM = 10.

Mà F₁F₂ = 2c nên 2c = 10 do đó c = 5.

Ta có c² = a² + b² nên a² + b² = 25 nên b² = 25 – a².

Vì (H) đi qua điểm $M\left(\frac{4\sqrt{34}}{5};\frac{9}{5}\right)$ nên ta có $\frac{{\left(\frac{4\sqrt{34}}{5}\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(\frac{9}{5}\right)}^2}{b^2}=1$ hay $\frac{544}{25a^2}-\frac{81}{25b^2}=1$

Do đó $\frac{544}{a^2}-\frac{81}{b^2}=25$ (*)

Thay b² = 25 – a² vào (*) ta được:

$\frac{544}{a^2}-\frac{81}{25-a^2}=25\iff 544\left(25-a^2\right)-81a^2=25a^2\left(25-a^2\right)$

⇔ 13 600 – 544a² – 81a² = 625a² – 25a⁴

⇔ 25a⁴ – 1 250a² + 13 600 = 0

⇔ a² = 34 hoặc a² = 16

Với a² = 34 ta có b² = 25 – a² = 25 – 34 = –9 (loại).

Với a² = 16 ta có b² = 25 – a² = 25 – 16 = 9. Do đó b = 3 (do b > 0).

Khi a² = 16 thì a = 4 (do a > 0).

Vậy a.b = 12.