Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có hai tiêu điểm F₁, F₂ nằm trên Ox và đối xứng qua gốc tọa độ O, (H) đi qua điểm có hoành độ bằng −5 và $M{F}_1=\frac{9}{4};M{F}_2=\frac{41}{4}.$ Phương trình chính tắc của hypebol (H) là

A. $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$;

B. $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi phương trình đường hypebol $\left(H\right)$ có dạng: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,a,b>0.$ 

Ta có $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=\left|\frac{9}{4}-\frac{41}{4}\right|=8.$

Mà |MF₁ – MF₂| = 2a nên 2a = 8, do đó a = 4.

Gọi M(−5; y₀) và F₁(−c; 0), F₂(c; 0).

Khi đó $M{F}_1^2={\left(-c+5\right)}^2+{\left(-y_0\right)}^2;M{F}_2^2={\left(c+5\right)}^2+{\left(-y_0\right)}^2.$

Do đó ${\left(c-5\right)}^2+y_0^2=\frac{81}{16};{\left(c+5\right)}^2+y_0^2=\frac{1681}{16}.$

Suy ra ${\left(c+5\right)}^2-{\left(c-5\right)}^2=\frac{1681}{16}-\frac{81}{16}$

Hay 20c = 100 nên c = 5.

Ta có c² = a² + b² nên b² = c² – a² = 25 – 16 = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $\left(H\right):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.